贝叶斯公式(逆概率公式)

贝叶斯公式,也叫做逆概率公式,就是已知一个事件的概率后,求这个事件来源于样本空间的哪一部分的概率。这一公式相当于全概率公式的反向问题,所以称之为逆概率公式。它的表达式为

\[P(A_k|B)=\frac{P(A_kB)}{P(B)}=\frac{P(A_k)P(A_kB)}{\sum_{i=1}^{k}P(A_i)P(B|A_i)}\]

其中第二个等式运用了全概率公式和乘法公式。

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例1,一批产品来处甲、乙、丙三厂,甲厂占 \(40\%\),乙厂占 \(35\%\),丙厂占 \(25\%\),次品率分别为 \(2\%, 3\%,4\%\),现任取一件,已知是次品,问它来自于乙厂的概率是多少:

解:设 \(A:\)取到次品, \(B_1,B_2,B_3\) 为分别来自于甲、乙、丙厂,则

\begin{align*}P(B_2|A)&=\frac{P(B_2)P(A|B_2)}{P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+P(B_3)P(A|B_3)}\\ &=\frac{0.35\cdot 0.03}{0.4\cdot0.02+0.35\cdot0.03+0.25\cdot0.04}\\ &=\frac{0.0105}{0.008+0.105+0.01}=\frac{0.0105}{0.0285}\\ &=\frac{21}{57}\end{align*}

例2,两个口袋,第一个袋中有 \(3\) 个白球, \(2\) 个黑球,第二个袋中有 \(5\) 个白球,\(8\) 个黑球,现任取一袋,从中取一球,问(1)取到白球的概率(2)已知取到白球,问取到第一袋的概率。

解:令 \(A:\)取到白球,\(B_1,B_2\) 为分别取到第一袋和第二袋。

(1)由全概率公式

\begin{align*}P(A)&=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{13}\\&=\frac{3}{10}+\frac{5}{26}=\frac{32}{65}\end{align*}

(2)由贝叶斯公式

\begin{align*}P(B_1|A)&=\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)}\\ &=\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(A)}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{32}{65}}=\frac{39}{64}\end{align*}