概率的公理化定义

因为随机事件可能发生,也可能不发生,我们就需要了解它发生的可能性有多大。这就是概率的定义。

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1,频率:我们对同一个试验做很多次,统计一下某个事件发生的次数,再除以总的试验次数,就差不多就是这个事件发生的可能性。也就是

\[\text{频率}=\frac{\text{事件} A \text{发生的次数}}{\text{总的试验次数}}=\frac{n_A}{n}=f_n(A)\]

其中 \(n\) 是总的试验次数,\(n_A\) 是事件 \(A\) 发生的次数。

从这个定义可以看出,频率具有下列性质:

(1)\(f_n(A)\ge 0\);

(2)\(f_n(\Omega)=1\);

(3)若 \(A_1, A_2,\cdots,A_n\) 两两互不相容,则 \[f_n(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n)=f_n(A_1)+f_n(A_2)+\cdots+f_n(A_n)\]

我们将上述性质公理化,就得到了概率的公理化定义。

2,概率的公理化定义:事件 \(A\) 的概率 \(P(A)\) 定义为满足下列条件的函数:

(1)\(P(A)\ge 0\);

(2)\(P(\Omega)=1\);

(3)若 \(A_1, A_2,\cdots,A_n\) 两两互不相容,则 \[P(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_n)\]

概率也可以用频率的极限来定义,也就是说

\[P(A)=\lim_{n\to\infty}\frac{n_A}{n}\]

3,由概率的定义,我们可以得到概率的性质:

(1)若 \(A_1\cap A_2=\varnothing\),则 \(P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)\);

(2)若 \(A\subset B\),则 \(P(B-A)=P(B)-P(A)\);

证明:因为 \(B=(B-A)\cup A\),而且 \((B-A)\cap A=\varnothing\),所以由上一个性质,我们有

\[P(B)=P((B-A)\cup A)=P(B-A)+P(A)\]

移项就得到了要证明的结果。

(3)\(P(\bar{A})=1-P(A)\);

只要在上一个性质中,令 \(B=\Omega\) 就可以得到所要的结果。

(4)加法公式:\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)。

证明:\(A\cup B=(A\cup(B-A))=A\cup(B-AB)\),又因为 \(A\cap (B-AB)=\varnothing\),所以

\[P(A\cup B)=P(A\cup(B-AB))=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)\]

这里 \(P(B-AB)=P(B)-P(AB)\) 是应用了是第二个性质所得。