条件概率和乘法公式

一个随机事件在已知另一个随机事件发生后的概率,称为条件概率。事件 \(B\) 在已知事件 \(A\) 发生的概率,记作 \(P(B|A)\),它可以用公式 \( P(B|A) =\frac{P(AB)}{P(A)}\) 来计算。由此公式,我们还可以推导出求交事件概率的乘法公式

\[P(AB)=P(A)P(B|A)\]

笔记下载:条件概率与乘法公式

我们先来看一个例子,来说明条件概率的概念。

例1,袋中有 \(6\) 红球,\(4\) 个黑球,取两次,不放回,已知第一次取到黑球,问第二次取到红球的概率是多少?

解:令 \(A:\) 第一次取到黑球;\(B:\) 第二次取到红球。我们用 \(P(B|A)\) 表示在事件 \(A\) 发生的情况下,事件 \(B\) 发生的概率。

我们可以用两种方法来计算条件概率。

(1)我们可以考虑在缩减空间里计算这个概率。 在第一次已经取黑球的情况下,袋中还有 \(9\) 个球,其中还有 \(6\) 个红球,所以第二次取到红球的概率为

\[P(B|A)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\]

(2)我们可以这么考虑,事件 \(A\) 发生的情况下,事件 \(B\) 发生的概率,我们可以将事件 \(A\) 发生,作为一个新的样本空间,那么事件 \(B\) 在 \(A\) 发生的情况下的概率,就是事件 \(AB\) 同时发生在 \(A\) 事件发生中的比重。所以

\[P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{9}}{\frac{4}{10}}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\]

上面的这个计算公式,可以当作条件概率的定义,因为它不需要知道缩减空间的情况。

1,条件概率:我们定义事件 \(B\) 在事件 \(A\) 发生的情况下的条件概率为

\[P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\]

2,乘法公式:由条件概率的定义,我们有

\[P(AB)=P(A)P(B|A)\]

3,条件概率的计算:(1)在缩减空间里计算,适用于缩减空间比较容易取得的情形;

(2)利用条件概率的公式计算。

例2:袋中有\(10\) 个球,\(6\) 个红球 \(4\) 个黑球,取 \(2\) 次,每次取完后放回。问:已知第一次取到黑球,第二次取到红球的概率。

解:(1)用公式计算,令 \(A:\) 第一次取到黑球;\(B:\) 第二次取到红球,因为

\[P(AB)=\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{10}=\frac{6}{25}, P(A)=\frac{2}{5}\]所以

\[P(B|A)=\frac{\frac{6}{25}}{\frac{2}{5}}=\frac{3}{5}\]

(2)用缩减空间计算。因为是放回,第一次取球后,仍然是 \(10\) 个球,\(6\)红 \(4\) 黑,取到红球的概率为

\[P(B|A)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\]

例3,设 \(P(A)=\frac{2}{7}\),\(P(B|A)=\frac{4}{5}\),求 \(P(AB)\)。

解:由乘法公式,

\[P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)=\frac{2}{7}\cdot\frac{4}{5}=\frac{8}{35}\]