古典概率(等可能概型)

古典概率,或者等可能概型,就是每一个基本事件发生的可能性都是一样的概型。

笔记下载:古典概率

1,古典概率:也称为等可能概型,它满足两个条件:

(1)样本空间只有有限个元素;

(2)试验中每一个基本事件发生的可能性相同。

2,计算:由古典概率的定义,我们知道事件的概率为

\[P(A)=\frac{A\text{包含的样本点的个数}}{样本空间中样本点的个数}=\frac{A\text{中基本事件的个数}}{样本空间中基本事件的个数}\]

所以求古典概率就是一个数数的过程。我们计算样本空间中基本事件的个数和事件 \(A\) 中基本事件的个数。

数数的基本方法是两种:排列与组合。

3,排列与组合:

(1)\(n\) 个元素排成一列,排列的方法有 \(n!\) 种,我们记为 \(P_n\);

(2)\(n\) 个元素,选 \(k\) 个排成一列,有 \(\displaystyle\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots(n-k+1)\) 排法;

(3)\(n\) 个元素,选取 \(k\) 个元素,有 \(\displaystyle C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\) 种选法。

注意到,排列是有顺序的,而组合是没有顺序的。我们在考虑问题的时候,先需要确定是有顺序还是没有顺序的。

例1:将一粒骰子掷两次,求两次点数之和为 \(7\) 概率。

解:样本空间中的点的个数为 \(36\)。两次总和为 \(7\) 的事件为

\[(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\]

共有 \(6\) 种可能,所以两次总和为 \(7\) 的概率为

\[P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\]

例2:有 \(6\) 只球,\(4\) 个白球,\(2\) 个红球,取两次,问 (1) 两次都是白球;(2) 两次颜色不同;(3) 两次都是红球的概率。分放回和不放回两种情形考虑。

解:我们设事件 \(A\):两次都取到白球;\(B\):两次颜色不同;\(C\):两次都是红球。

(1)放回抽样:放回的话,每一次的样本空间都是一样的,所以

\begin{align*}&P(A)=\frac{4}{6}\cdot\frac{4}{6}=\frac{4}{9},\quad P(B)=\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{6}+\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{6}=\frac{4}{9}\\ & P(C)=\frac{2}{6}\cdot\frac{2}{6}=\frac{1}{9}\end{align*}

(2)放回抽样:第二次的样本空间与第一次不同。它的样本点与第一次抽样的结果相关。第二次的样本空间只有 \(5\) 个样本点,而这些样本点的取值依赖于第一次抽样的结果。

\begin{align*}&P(A)=\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{2}{5},\quad P(B)=\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{5}+\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{15}\\ &P(C)=\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{15}\end{align*}

例3,从 \(9\) 个男生, \(6\) 个女生中选 \(5\) 个人组成学生会,问正好是 \(3\) 个男生,\(2\) 个女生的概率。

解:设事件 \(A\):选出的正好是 \(3\) 个男生,\(2\) 个女生,则事件的总数是 \(15\) 选 \(5\),而 \(A\) 中基本事件数是 \(9\) 选 \(3\) 乘以 \(6\) 选 \(2\),

\[C_{15}^5=\frac{15!}{5!\cdot10!}=\frac{15\cdot14\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}=11\cdot13\cdot3\cdot7\]

\[C_9^3=\frac{9\cdot8\cdot7}{1\cdot2\cdot3}=3\cdot4\cdot7,\quad C_6^2=\frac{6\cdot5}{1\cdot2}=15\]

\[P(A)=\frac{C_9^3\cdot C_6^2}{C_{15}^5}=\frac{3\cdot4\cdot7\cdot15}{11\cdot13\cdot3\cdot7}=\frac{60}{143}\]

例4,从一付扑克牌(\(52\) 张)中抽出 \(5\) 张,求正好组成一个葫芦的概率(葫芦:三个一样的点数,再加一对)。

解:我们可以这样分析:在 \(13\) 个数中选一个,再在这个数中的 \(4\) 张牌中选 \(3\) 张,再在剩下的 \(12\) 个数中选一个,在 \(4\) 张牌中选 \(2\) 张,这就是事件中的基本事件的个数。而样本空间中的基本事件为 \(52\) 中选 \(5\) 张。

\[C_{52}^5=\frac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}=13\cdot17\cdot10\cdot24\cdot49\]

所以\begin{align*}P(A)&=\frac{C_{13}^1\cdot C_4^3\cdot C_{12}^1\cdot C_4^2}{C_{52}^5}=\frac{13\cdot 4\cdot 12\cdot6}{13\cdot17\cdot10\cdot24\cdot49}\\ &=\frac{ 6}{17\cdot5\cdot49}=\frac{6}{4165}\end{align*}

可以看到,这个概率已经是很小的了。