全概率公式

当样本空间可以划分成几个不相交的部分 \(A_1,A_2,\cdots, A_n\) 时,任何一个随机事件都可以用这个事件与各个部分的交的概率之和来计算,也就是

\[P(B)=P(A_1B)+ P(A_2B)+\cdots P(A_nB)= P(A_1)P(B|A_1)+ P(A_2)P(B|A_2)+\cdots P(A_n)P(B|A_n) \]

这就是全概率公式,其中第二个等式我们使用了乘法公式。

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例1,设一批原材料来源于 \(3\) 个厂家,甲厂占 \(40\%\),乙厂占 \(35\%\),丙厂点 \(25\%\),甲厂的次品率为 \(2\%\),乙厂为 \(3\%\),丙厂为 \(4\%\),现随机抽取一件,求抽到次品的概率。

解:设 \(A:\) 抽到次品,\(B_1:\) 抽到甲厂产品,\(B_2:\) 抽到乙厂产品,\(B_3:\) 抽到丙厂产品,可以知道, \(B_i\cap B_j=\varnothing, i\ne j\),则

\[A=(A\cap B_1)\cup(A\cap B_2)\cup(A\cap B_3)\]

所以

\begin{align*}P(A)&=P(AB_1)+P(AB_2)+P(AB_3)\\ &= P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+P(B_3)P(A|B_3)\\ &=0.4\cdot 0.02+0.35\cdot 0.03+0.25\cdot 0.04\\ &=0.008+0.0105+0.01=0.0285\end{align*}

例2,设一批灯泡,来源于 \(3\) 个公司,甲公司占比 \(35\%\),乙厂占比 \(44\%\),丙厂占比 \(21\%\),各自的次品率分别 为 \(2\%, 2.5\%, 4\%\),任取一个灯泡,问取到次品的概率。

解:令 \(A:\) 取到次品, \(B_1,B_2,B_3\) 分别来自于甲、乙、丙厂的产品。则

\begin{align*}P(A)&=P(AB_1)+P(AB_2)+P(AB_3)\\ &= P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+P(B_3)P(A|B_3)\\ &=0.35\cdot0.02+0.44\cdot0.025+0.21\cdot0.04=0.0254\end{align*}