参数估计:矩估计法

矩估计法是用样本的各阶矩来代替总体的各阶矩,从而估计出总体中含有的未知参数的方法。

笔记下载:矩估计法

1,参数估计:用样本来推断总体的未知参数的统计方法。

2,点估计:设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是来自于总体的样本,用来估计未知参数 \(\theta\) 的样本函数 \(\hat{\theta}(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 称为 \(\theta\) 的估计量,称 \(\hat{\theta}\) 为 \(\theta\) 的点估计。

3,矩估计:用样本的各阶矩来估计未知参数的方法,称为矩估计法。

方法:用样本的各阶矩作为总体的各阶矩的估计量,从而得到未知参数的估计值。例如,用样本均值代替总体均值(期望),用样本方差代替总体方差,从而得到未知参数。有多少个待估参数,就需要用到几阶矩,这样能得到跟待估参数相等个数的方程的方程组,从而能使待估参数的解唯一。

例1,设 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 为来自于均匀分布 \(U(a,b)\) 的总体的观察值,\(a,b\) 均是未知参数,求 \(a,b\) 的矩估计量。

解:我们知道 \(\displaystyle E(X)=\frac{a+b}{2}, D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\)。

用 \(\bar{x}\) 代替 \(E(X)\),用 \(s^2\) 代替 \(D(X)\),得到

\[\frac{a+b}{2}=\bar{x},\quad s^2=\frac{(b-a)^2}{12}\]

从而可以得到方程组

\begin{cases}\frac{a+b}{2}=\bar{x}\\ \frac{b-a}{\sqrt{12}}\end{cases}

解这个方程组,得到

\begin{cases}2b=\sqrt{12}s+2\bar{x}\\ 2a=2\bar{x}-\sqrt{12}s\end{cases}

所以得到 \(a,b\) 的估计值

\[\hat{a}=\bar{x}-\sqrt3 s,\quad \hat{b}=\sqrt{3}s+\bar{x}\]

例2,设总体服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布,\(\lambda\) 未知,

\[f(x,\lambda)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\ge 0\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

\(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 为一组样本观测值,求\(\lambda\) 的矩估计量。

解:因为 \(E(X)=\frac{1}{\lambda}\)。我们用样本均值 \(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\) 代替总体均值

\[\bar{x}=\frac{1}{\lambda}\]

就得到了 \(\lambda\) 的估计值 \[\hat{\lambda}=\frac{1}{\bar{x}}\]

例3,设总体均值为 \(\mu\),方差为 \(\sigma^2\),\(x_1,\cdots,x_n\) 为一组样本观测值,求 \(\mu,\sigma^2\) 的矩估计量。

解:用样本均值代替总体均值,用样本方差代替总体方差,就得到了矩估计量

\[\hat{\mu}=\bar{x},\quad \hat{\sigma^2}=s^2\]