单个正态总体方差的区间估计

我们要估计正态总体的方差,通过情况下,均值是未知的。所以我们采用的枢轴量是卡方分布。我们知道方差未知的情况下,\[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)\] 跟之前的推导一样,可以得到方差的区间估计为\[\left[\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right]\]

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注意到,卡方分布不是对称的,但是我们仍然选择上、下分位点之外的概率相等,所以得到了面的置信区间公式。

例1,有一批糖果,抽取 \(16\) 袋,测得 \(s^2=6.2022^2\),求总体方差 \(\sigma^2\) 的 \(90\%,95\%\) 的置信区间。

解:(1)置信水平为 \(90\%\),\(\alpha=0.1, n=16\),查表得

\[\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)=\chi^2_{0.05}(15)=24.996\]

\[\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)=\chi^2_{0.95}(15)=7.261\]置信区间为

\[\left[\frac{15\cdot6.2022^2}{24.996},\frac{15\cdot6.2022^2}{7.261}\right]=[23.08,79.47]\]

(2)置信水平为 \(95\%\),\(\alpha=0.05, n=16\),查表得

\[\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)=\chi^2_{0.025}(15)=27.488\]

\[\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)=\chi^2_{0.975}(15)=6.262\]置信区间为

\[\left[\frac{15\cdot6.2022^2}{27.488},\frac{15\cdot6.2022^2}{6.262}\right]=[20.99,92.14]\]