两个正态总体方差比的区间估计

两个正态总体方差之比的区间估计。根据我们以前的内容,两个正态总体的方差比与样本方差之比服从 F 分布,所以我们选择的枢轴量服从 F 分布,我们采用的统计表格是 F 分布表。

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1,\(\displaystyle\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\) 的区间估计, \(\mu_1,\mu_2\) 未知。

(1)枢轴量:\(\displaystyle\frac{s_1^2/s_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)\);

(2)\(P\left\{F_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_1-1,n_2-1)\le \frac{s_1^2/s_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}\le F_{\frac{\alpha}{2}}(n_1-1, n_2-1)\right\}=1-\alpha\)

(3)解上面的不等式,得到置信区间为

\[\left[\frac{s_1^2}{s_2^2}\cdot\frac{1}{F_{\frac{\alpha}{2}}(n_1-1,n_2-1)}, \frac{s_1^2}{s_2^2}\cdot\frac{1}{F_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_1-1,n_2-1)}\right]\]

例,两台机器生产的钢管内径服从正态分布,\(\mu_1,\mu_2\) 未知。今抽取第一台机器生产的钢管 \(13\) 只,测得方差为 \(s_1^2=0.34\);抽取第二台机器 生产的钢管 \(18\) 只,测得方差为 \(s_2^2=0.28\),求 \(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\) 的置信水平为 \(0.9\) 的置信区间。

解:置信水平为 \(0.9\), \(\alpha=0.1\),

\[F_{\frac{\alpha}{2}}(n_1-1,n_2-1)=F_{0.05}(12,17)=2.381\]

\[F_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_1-1,n_2-1)=F_{0.95}(12,17)=\frac{1}{2.381}\]

置信区间为

\begin{array}{l}\left[\frac{s_1^2}{s_2^2}\cdot\frac{1}{F_{\frac{\alpha}{2}}(n_1-1,n_2-1)}, \frac{s_1^2}{s_2^2}\cdot\frac{1}{F_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_1-1,n_2-1)}\right]\\ =\left[\frac{0.34}{0.29}\cdot\frac{1}{2.381}, \frac{0.34}{0.29}\cdot 2.381 \right] =[0.4924,2.7915]\end{array}