两个正态总体均值差的区间估计

两个正态总体均值差的区间估计,如果方差已知,我们采用正态分布为枢轴量,如果方差未知,则采用 t 分布为枢轴量。

笔记下载:两个正态总体均值差的区间估计

1,\(\sigma_1^2,\sigma_2^2\) 已知,这时因为 \(X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2), X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\),

\begin{array}{ll}\Rightarrow& \bar{x_1}\sim N(\mu_1,\frac{\sigma_1^2}{n_1}), \bar{x_2}\sim N(\mu_2,\frac{\sigma_2^2}{n_2})\\ \Rightarrow& \bar{x_1}-\bar{x_2}\sim N(\mu_1-\mu_2, \frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2})\\ \Rightarrow&\frac{(\bar{x_1}-\bar{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)\end{array}

由之前我们推导均值的区间估计一样,可以得到 \(\mu_1-\mu_2\) 的置信区间为

\[\left[\bar{x_1}-\bar{x_2}-z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}},\bar{x_1}-\bar{x_2}+z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}} \ \right]\]

2,\(\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2\) 未知,则(直接推导可得,式子较复杂)

\[\frac{(\bar{x_1}-\bar{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}}\cdot\sqrt{\frac{n_1n_2(n_1+n_2-2)}{n_1+n_2}}\sim t(n_1+n_2-2)\]

\(\mu_1-\mu_2\) 的置信区间为

\begin{align*}\left[(\bar{x_1}-\bar{x_2})-t_{\frac{\alpha}{2}}(n_1+n_2-2)\cdot\sqrt{\frac{(n_1+n_2)\cdot((n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2)}{n_1n_2(n_1+n_2-2)}},\right. \\ \quad\left. (\bar{x_1}-\bar{x_2})+t_{\frac{\alpha}{2}}(n_1+n_2-2)\cdot\sqrt{\frac{(n_1+n_2)\cdot((n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2)}{n_1n_2(n_1+n_2-2)}}\right]\end{align*}

例1,设取自总体 \(N(\mu_1,16)\) 的一容量为 \(15\) 的样本,\(\bar{x_1}=14.6\),取自总体 \(N(\mu_2,9)\) 的一组容量为 \(20\) 的样本,\(\bar{x_2}=13.2\),两个样本相互独立,求 \(\mu_1-\mu_2\) 的置信水平为 \(90\%\) 的置信区间。

解:置信水平为 \(90\%\), \(\alpha=0.1, z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.05}=1.65\),置信区间为

\begin{array}{l}\left[\bar{x_1}-\bar{x_2}-z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}},\bar{x_1}-\bar{x_2}+z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}} \ \right]\\ =\left[1.4-1.65\sqrt{\frac{16}{15}+\frac{9}{20}},1.4+1.65\sqrt{\frac{16}{15}+\frac{9}{20}}\right]\\ =[-0.632, 3.432]\end{array}

例2,为了比较 \(A,B\) 两种灯泡的寿命,随机抽取 \(A\) 灯泡 \(5\) 只,测得平均寿命 \(\bar{x_1}=1000\) 小时,标准差 \(s_1=28\) 小时;抽取 \(B\) 灯泡 \(7\) 只,测得寿命 \(\bar{x_2}=980\)小时,标准差 \(s_2=32\) 小时,设灯泡的寿命服从正态分布,并且两种灯泡的生产方式相同,它们的方差相等,求 \(\mu_1-\mu_2\) 的置信水平为 \(99\%\) 的置信区间。

解:这是方差未知的情况,而且两者总体的方差相等,所以

\[\frac{(\bar{x_1}-\bar{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}}\cdot\sqrt{\frac{n_1n_2(n_1+n_2-2)}{n_1+n_2}}\sim t(n_1+n_2-2)\]

\(99\%\) 的置信水平,\(\alpha=0.01\),

\[t_{\frac{\alpha}{2}}(n_1+n_2-2)=t_{0.005}(10)=3.1693\]

\(\mu_1-\mu_2\) 的置信区间为

\begin{array}{l}\left[(\bar{x_1}-\bar{x_2})-t_{\frac{\alpha}{2}}(n_1+n_2-2)\cdot\sqrt{\frac{(n_1+n_2)\cdot((n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2)}{n_1n_2(n_1+n_2-2)}},\right. \\ \quad\left. (\bar{x_1}-\bar{x_2})+t_{\frac{\alpha}{2}}(n_1+n_2-2)\cdot\sqrt{\frac{(n_1+n_2)\cdot((n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2)}{n_1n_2(n_1+n_2-2)}}\right]\\ =\left[20-3.1693\cdot\sqrt{\frac{12(4\cdot 28^2+6\cdot 32^2)}{35\cdot 10}},20+3.1693\cdot\sqrt{\frac{12(4\cdot 28^2+6\cdot 32^2)}{35\cdot 10}}\right]\\ =[-36.53,76.53]\end{array}