正态总体方差的假设检验

正态总体方差的假设检验,我们只考虑一种情况,即总体均值未知的情况。我们所选择的抽样分布为卡方分布。

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1,\(\mu\) 未知,检验 \(\sigma^2\):

(1)抽样分布选择

\[\chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)\]

(2)原假设\(H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\);备择假设\(H_1:\sigma^2\ne \sigma_0^2\);

(3)接受域:\(\displaystyle\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)<\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}<\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\)。

拒绝域:\(\displaystyle\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}<\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\) 或者 \(\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}>\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\)。

例1,某厂生产的某种型号的电池寿命服从正态分布,\(\sigma^2=5000\),从它生产的情况来看,寿命的波动性有所改变。现随机抽取 \(26\) 只,测出样本方差 \(s^2=9200\),问能否推断寿命的波动性有显著性改变?(\(\alpha=0.02\))

解:原假设\(H_0:\sigma^2=5000\);备择假设\(H_1:\sigma^2\ne 5000\);

均值未知,选择卡方分布

\[\chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)\]

因为

\[\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\frac{25\cdot 9200}{5000}=46\]

而 \(\alpha=0.02\),

\[\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)=\chi^2_{0.99}(25)=11.524,\quad \chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)=\chi^2_{0.01}(25)=44.314\]

因为

\[\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=46>\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)=44.314\]

所以拒绝原假设,接受备择假设。也就是认为寿命的波动性有显著性改变。