正态总体均值的假设检验

正态总体均值的假设检验,我们分两种情况,第一种情况是总体方差已知的情况,我们选择的抽样 分布为正态分布;第二种情况为总体方差未知的情况,我们选择的抽样分布是 t 分布。

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1,\(\sigma^2\) 已知,\(\mu\) 的假设检验:抽样分布选择为

\[z=\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)\]

原假设:\(H_0: \mu=\mu_0\);备择假设:\(H_1: \mu\ne \mu_0\)

拒绝域:\(\displaystyle\left|\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right|>z_{\frac{\alpha}{2}}\)

例1,设某铁厂铁水的含碳量服从正态分布 \(N(3.90,0.098^2)\),现从新设备炼 出的铁水中抽出六炉,测得含碳量的均值 \(\bar{x}=3.99\)。根据新设备的性能,方差不会有什么变化,问均值是否有显著变化?(\(\alpha=0.01\))

解:原假设\(H_0:\mu=3.9\);备择假设\(H_1: \mu\ne 3.9\)

方差已知,所以拒绝域为 \(\displaystyle\left|\frac{\bar{x}-3.9}{\sigma/\sqrt{n}}\right|>z_{\frac{\alpha}{2}}\)

这里 \(\alpha=0.01, z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.005}=2.56\),

\[\left|\frac{\bar{x}-3.9}{\sigma/\sqrt{n}}\right|=\left|\frac{3.99-3.9}{0.098/\sqrt{6}}\right|=2.2495<2.56\]

所以可以认为均值无显著变化。

要注意的是,若选 \(\alpha=0.05\),则 \(z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.025}=1.96\),就该拒绝该假设,认为均值有显著变化。

2,\(\sigma^2\) 未知,\(\mu\) 的假设检验:抽样分布选择为

\[t=\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)\]

拒绝域为

\[\left|\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\right|>t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\]

例2,某电工器材厂生产一种云母片,要求标准厚度为 \(0.13 mm\),今测定 \(10\) 片,算得平均度厚为 \(0.146 mm\),标准差为 \(0.016 mm\),设生产的云母片厚度服从正态分布,试问云母片的质量是否合格?(\(\alpha=0.05\))

解:原假设\(H_0: \mu=0.13\),备择假设\(H_1:\mu\ne 0.13\)。

因为方差未知,选择 \(t\) 分布作为抽样分布,

\[t=\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)\]

拒绝域为

\[\left|\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\right|>t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\]

现在 \(\alpha=0.05\),\(t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)=t_{0.025}(9)=2.2622\),

\[\left|\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}\right|=\left|\frac{0.146-0.13}{0.016/\sqrt{10}}\right|=3.1622>2.2622\]

所以拒绝原假设,接受备择假设,也就是认为该批云母片不合格。