齐次方程,与时间无关的非齐次边界条件的分离变量法

如果边界条件是非齐次的,我们的基本思想是边界条件的齐次化,将边界条件化成齐次的。然后利用分离变量法求解。

我们考虑这样的方程

\begin{cases}u_t=c^2u_{xx},& t>0, 0<x<L\\ u(0,t)=A, u(Lt)=B, &t>0\\ u(x,0)=g(x),&0<x<L\end{cases}

边界条件的齐次化方法:

我们设 \(u=v+w\),其中 \(v\) 满足边界条件 \(v(0,t)=A, v(L,t)=B\)。因为这里边界条件与时间无关,所以我们也假设 \(v\) 与时间无关,因为 \(v\) 与时间无关,所以 \(v_t=0\),也就是说 \(v=v(x)\)。这里我们应用稳态解的定义。

1,稳态解:若方程的解与时间无关,即 \(v_t=0\)。我们称这样的解是稳态解。

我们设 \(v\) 是方程的稳态解,则

\[v_{xx}=0,\quad v(x)=C_x+C_2\]

代入边界条件,我们有

\[v(0)=A, A=C_2,\quad v(L)=B, B=C_1 L+A, C_1=\frac{B-A}{L}\]

所以

\[v(x)=\frac{B-A}{L}x+A\]

我们将 \(u=v+w\) 代入方程与边界条件、初始条件里去,就得到了 \(w=u-v\) 满足的微分方程

\begin{cases}w_t=c^2w_{xx},&t<0, 0<x<L\\ w(0,t)=0, w(L,t)=0,&t>0\\ w(x,0)=g(x)-\frac{B-A}{L}x-A,&0<x<L\end{cases}

这是一个齐次边界条件的齐次热传导方程的第一边值问题,我们只需要像之前一样,应用分离变量法就可以求出它的解。事实上,由我们之前的推导, 我们知道

\[w(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_ne^{-\left(\frac{cn\pi}{L}\right)^2}\sin\frac{n\pi}{L}x\]

其中

\[A_n=\frac{2}{L}\int_0^L(g(x)-\frac{B-A}{L}x-A)\sin\frac{n\pi}{L}xdx\]

那么原方程的解为

\[u=\frac{B-A}{L}x+A+\sum_{n=1}^{\infty}A_ne^{-\left(\frac{cn\pi}{L}\right)^2}\sin\frac{n\pi}{L}x\]