公共课的线性代数，它的所有的计算基本上基于两个技巧：初等变换，行列式的计算。当然，这里不包括数学系的线性代数或者高等代数课程，数学系的线性代数或者高等代数，不以计算为主。

公共课的线性代数，计算基本上离不开这两个技巧。甚至，可以将行列式的计算也归入到初等变换中来，这样，线性代数的计算技巧就只有一个：初等变换。掌握了这个技巧，那么线性代数的计算将不是一个问题。我们将这个题目细细地述说一下。

一、解线性方程组及判定方程组有解无解：只需要将系数矩阵（齐次线性方程组）或者增广矩阵（非齐次线性方程组）作初等变换，将它们化成行最简矩阵，则可以直接写出方程组的解（或者判定方程组有解无解）。例如，对线性方程组 \(A\vec{x}=\vec{b}\)，其中
\[A=
\begin{pmatrix}
1& 1& 2& 3\\
2& 0& 0& 2\\
3 &2& 4& 7
\end{pmatrix},\quad
\vec{b}=
\begin{pmatrix}
1\\
4\\
4
\end{pmatrix}
\]

的增广矩阵作初等变换，化成行最简矩阵，

\[
(A,\vec{b})=
\begin{pmatrix}
1& 1& 2& 3 &\vdots& 1\\
2& 0& 0& 2&\vdots& 4\\
3 &2& 4& 7 &\vdots& 4
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1& 0& 0&1 &\vdots&2\\
0& 1& 2& 2&\vdots& -1\\
0 &0& 0& 0&\vdots& 0
\end{pmatrix}
\]

则方程组的解为

\[
\vec{\xi}=c_1
\begin{pmatrix}
0\\
-2\\
1\\
0
\end{pmatrix}+c_2
\begin{pmatrix}
-1\\
-2\\
0\\
1
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\]

这一部分，可以参考文章如何快速地写出方程组的解？

二、求行列式。求数字行列式的基本方法是降阶法，就是先用初等变换，将行列式的一行或者一列化成只有一个不为 \(0\)，然后按这一行或者这一列展开，行列的阶就降了一阶，依次进行，最后变成二阶行列式，就可以利用二阶行列式的公式计算了。例如

\begin{align*}|A|&=\begin{vmatrix}1&1&-1&3\\ -1&-1&2&1\\ 2&5&2&4\\ 1&2&3&2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&-1&3\\ 0&0&1&4\\0&3&4&-2\\0&1&4&-1\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix} 0&1&4\\3&4&-2\\1&4&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0&1&4\\0&-8&1\\1&4&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&4\\-8&1\end{vmatrix}=33\end{align*}

就是先将第一列化成只有一个元素不为 \(0\)，然后再将行列式按第一列展开，从四阶变成三阶；然后再做初等变换，将新的行列式的第一列化成只一个元素不为 \(0\)，再按照第一列展开，变成二阶行列式，最后利用二阶行列式的公式得到了行列式的值。

这一部分，可以参考课程行列式的性质及其计算。

三、求逆矩阵。求逆矩阵的方法是将方阵与单位矩阵横排成一个新的矩阵，再对这个矩阵作初等变换，当矩阵的左边，就是原方阵，变成单位矩阵的时候，右边的矩阵，就是单位矩阵就变成了原方阵的逆矩阵了。例如，求 \(A=\begin{pmatrix}0&1&2\\ 1&0&3\\ 4&-3&8\end{pmatrix}\) 的逆矩阵。

\begin{align*}(A,I)&=\begin{pmatrix}0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 1&0&3&\vdots&0&1&0\\ 4&-3&8&\vdots&0&0&1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&3&\vdots&0&1&0\\0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 4&-3&8&\vdots&0&0&1\end{pmatrix} \\ &\sim \begin{pmatrix}1&0&3&\vdots&0&1&0\\0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 0&-3&-4&\vdots&0&-4&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&3&\vdots&0&1&0\\0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 0&0&1&\vdots&\frac{3}{2}&-2&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&0&0&\vdots&-\frac{9}{2}&7&-\frac{3}{2}\\0&1&0&\vdots&-2&4&-1\\ 0&0&1&\vdots&\frac{3}{2}&-2&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\end{align*}

所以 \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{9}{2}&7&-\frac{3}{2}\\-2&4&-1\\ \frac{3}{2}&-2&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)

这一部分，可以参考文章如何求矩阵的逆矩阵？

四、判断向量组线性相关还是线性无关。具体做法是，将（列）向量组横排成一个矩阵，然后将这个矩阵作初等变换，如果矩阵的秩（就是行阶梯矩阵的非零行的行数）小于向量的个数，就是线性相关；如果等于向量的个数，就是线性无关。例如，\(\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}, \vec{a}_2=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}, \vec{a}_3=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\)， 问 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\) 是线性相关还是线性无关？

解法是，

\begin{align*}A&=(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3)=\begin{pmatrix}1&1&1\\ -1&2&0\\ 0&0&3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&1\\ 0&3&1\\ 0&0&3\end{pmatrix}\end{align*}

\(R(A)=3\)，所以向量组线性无关。

五、求向量组的极大无关组，以及将其它向量用极大无关组线性表示。做法是，将（列）向量组横排成一个矩阵，将这个矩阵做初等变换，化成行最简矩阵，行最简矩阵的每一个非零行的第一个非零元所在的列，对应原矩阵的列向量，就是极大无关组的向量。行最简矩阵的各列之间的关系，就是原矩阵各向量之间的关系。例如，求向量组\[\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\4\end{pmatrix},\vec{a}_2=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix}, \vec{a}_3=\begin{pmatrix}9\\6\\-6\\9\end{pmatrix},\vec{a}_4=\begin{pmatrix}5\\5\\1\\1\end{pmatrix},\vec{a}_5=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\\-9\end{pmatrix}\] 的极大无关组，并且将其它向量用极大无关组线性表示。

\[( \vec{a}_1 , \vec{a}_2 , \vec{a}_3 , \vec{a}_4 , \vec{a}_5 )=\begin{pmatrix} 1&-2&9&5&4\\ 1&-1&6&5&-3\\ -2&0&-6&1&-2\\ 4&1&9&1&9 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&3&0&0\\ 0&1&-3&0&-7\\ 0&0&0&1&-2\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} \]

所以原向量组的一个极大无关组为

\[ \vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\4\end{pmatrix},\quad \vec{a}_2=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad \vec{a}_4=\begin{pmatrix}5\\5\\1\\1\end{pmatrix} \]

而其它两个向量可以用极大无关组表示

\[\vec{a}_3=3\vec{a}_1-3\vec{a}_2,\quad \vec{a}_5=-7\vec{a}_2-2\vec{a}_4 \]

这一部分的内容，可以参考文章如何求一个向量组的极大无关组，以及如何用极大无关组线性表示其它向量？

六、特征值、特征向量、矩阵的对角化。求特征值本质就是求行列式 \(|A-\lambda I|\)，求特征向量就是解线性方程组 \((A-\lambda I)\vec{x}=0\)，矩阵对角化就是将特征向量排成一个矩阵，就是前面几个部分的综合应用。这部分可以参考 线性代数复习：特征值、特征向量与矩阵对角化

七、行列式的计算：具体的数字行列式的计算，是利用初等变换得到。但也有一些计算方法，例如递推法，拆分法，是利用行列式的性质来进行计算，这些计算方法可以了解，不需要花大力气去掌握。实际上，行列的计算方法还有很多很多种，只是行列式在现代的线性代数里，没有一百多年前那么重要了，所以也没有必要花费太多的时间去研究。

八、正交化和投影。这是另一个不需要初等变换的地方，但需要掌握。这是内积空间的主要计算部分。

所以总的来说，如果初等变换不掌握，挂科、重修基本上是板上订钉的事儿了。当然如果掌握了上面所说的几个部分，线性代数应该就不太难了，不要说这门课有多精通，考试过关应该不成问题的。

我们知道，每一个高阶微分方程都可以对应一个一阶微分方程组，所以高阶的微分方程可以用一阶微分方程组来求解。反之，一阶的微分方程组也可以用高阶的微分方程来求解。我们来看一下如何利用高阶微分方程来求解一阶的线性微分方程组。

我们以两个函数的方程组来说明如何使用这个方法。设有一阶方程组

\begin{cases}\frac{dx}{dt}=f(t,x,y)\\ \frac{dy}{dt}=g(t,x,y)\end{cases}

将第一个方程求导，得到 \(\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{df}{dt}\)，将方程组代入到右边，得到 \[\frac{d^2x}{dt^2}=h(t,x,y)\]

然后将此式与第一个方程联立，消去 \(y\)，得到关于 \(x\) 的二阶方程，求出此方程，再代入到方程组里的第二个方程，就可以求出 \(y\)。

对于三个和三个以上的未知函数的方程，可以类似处理。

我们来看例题。

例1，求方程组的通解，

\begin{cases}\frac{dx}{dt}+y=\cos t\\ \frac{dy}{dt}+x=\sin t\end{cases}

解：将第一个方程对 \(t\) 求导，得到

\[\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{dy}{dt}=-\sin t\]

将 \(\frac{dy}{dt}=-x+\sin t\) 代入上式，得到

\[\frac{d^2x}{dt^2}-x=-2\sin t\]

利用二阶常系数非齐次方程的解，不难求出它的通解为 \[x=C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\sin t\]

将它代入第二个方程，得到

\[\frac{dy}{dt}+C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\sin t=\sin t\]

也就是

\[\frac{dy}{dt}=-C_1e^{x}-C_2e^{-x}\]

两边积分，就得到

\[y=-C_1e^x+C_2e^{-x}\]

所以方程的通解为

\begin{cases}x=C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\sin t\\ y=-C_1e^x+C_2e^{-x}\end{cases}

学到中心极限定理的时候，很多同学一看到那一大堆的公式与叙述的时候，就感到头大。实际上，中心极限定理很容易理解。

我们看到，一般的正态分布 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) 可以通过变换 \(\displaystyle Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\) 将一般正正态分布化成标准正态分布。我们知道一般正态分布 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) 中的参数 \(\mu\) 就是随机变量的期望，\(\sigma^2\) 就是方差，\(\sigma\) 就是标准差。一般正态分布的这个变换用文字来表示就是

\[\frac{\text{随机变量}-\text{期望}}{\text{标准差}}\]

服从标准正态分布。

那么中心极限定理可以这么理解：\[\frac{\text{随机变量}-\text{期望}}{\text{标准差}}\] 近似服从标准正态分布，它以标准正态分布为极限。

我们首先来看一下独立同分布的中心极限定理，若 \(X_1,X_2,\cdots, X_n\) 相互独立，服从同一分布，具有期望（均值）\(E(X_i)=\mu\) 和方差 \(D(X_i)=\sigma^2, 1\le i\le n\)，那么 \(\sum_{k=1}^nX_k\) 的期望与方差为 \(E(\sum_{k=1}^nX_k)=n\mu\)， \(D(\sum_{k=1}^nX_k)=n\sigma^2\)，标准差为 \(\sqrt{n}\sigma\)，而中心极限定理给出了随机变量

\[\frac{\sum_{k=1}^nX_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\]

以正态分布为极限。

同样的分析，二项式分布 \(X\sim B(n,p)\) 的均值为 \(E(X)=np\)，方差为 \(D(X)=npq\)，中心极限定理给出了

\[\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\]

以标准正态分布为极限。

李雅普诺夫定理是一样的。若 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 相互独立，具有期望 \(E(X_i)=\mu_i\)，方差 \(D(X)=\sigma^2_i, 1\le i\le n\)，那么由期望与方差的性质，\(\sum_{k=1}^nX_k\) 的期望为 \(E(\sum_{k=1}^nX_k)=\sum_{k=1}^n\mu_k\)，方差为 \(D(\sum_{k=1}^nX_k)=\sum_{k=1}^n\sigma^2_k\)，中心极限定理给出了

\[\frac{\sum_{k=1}^nX_k-\sum_{k=1}^n\mu_k}{\sqrt{\sum_{k=1}^n\sigma^2_k}}\]

以标准正态分布为极限。

对坐标的曲面积分可能是高等数学里最难的一部分了，这里我们总结了求对坐标的曲面积分的各种方法，并且举例说明这些方法的应用范围。

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1，计算方法
对坐标的曲面积分的计算方法主要是三种：直接计算，利用向量形式的曲面积分（两类曲面积分的关系），以及利用高斯公式来计算。

（1）直接计算
直接计算的话，就是将曲面积分化成二重积分来算，例如
\begin{align*}\iint_SR(x,y,z)dxdy=\pm\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy\end{align*}
这里 \(D_{xy}\) 就是曲面在 \(xOy\) 平面上的投影，如果是曲面的上侧，取正号，如果是曲面的下侧，则取负号。同理
\[\iint_SQ(x,y,z)dzdx=\pm\iint_{D_{zx}}Q(x,y(x,z),z)dzdx\]
\(D_{zx}\) 就是曲面在 \(xOz\) 平面上的投影，曲面右侧取正，左侧取负；
\[\iint_SP(x,y,z)dydz=\pm\iint_{D_{yz}}Q(x(y,z),y,z)dydz\]\(D_{yz}\) 就是曲面在 \(yOz\) 平面上的投影，前侧取正，后侧取负。

2，利用曲面积分的向量形式（两类曲面积分的关系）

因为 \[\iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=\iint_S\vec{F}(x,y,z)\cdot \vec{n}dS\] 这里 \(\vec{F}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\)， \(\vec{n}\) 是曲面的单位法向量。我们分两种情况计算。

（1）曲面由 \(z=f(x,y)\) 给出，则\[\iint_S\vec{F}\cdot\vec{n}dS=\pm\iint_D(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\cdot(-f_x,-f_y,1)dxdy\]如果曲面是上侧，就取正，如果曲面是下侧，就取负。

这是因为如果曲面取上侧，曲面法向量的第三个分量为正，所曲面的法向量为 \(\vec{N}=(-f_x,-f_y, 1)\)；曲面下侧，第三个分量取负，所以 \(\vec{N}=(f_x,f_y, -1)\)。单位法向量为
\[\vec{n}=\pm\frac{1}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}}(-f_x,-f_y, 1)\]
而面积元
\[dS=\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}dxdy\]联合起来，就是
\[\iint_S\vec{F}\cdot\vec{n}dS=\pm\iint_D(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\cdot(-g_x,-g_y,1)dxdy\]

（2）曲面由隐函数 \(G(x,y,z)=0\) 给出，由隐函数求导公式及上面的结论，得到
\[\iint_S\vec{F}\cdot\vec{n}dS=\pm\iint_D(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\cdot(\frac{G_x}{G_z},\frac{G_y}{G_z},1)dxdy\]

3，利用高斯公式

闭曲面上的积分首先要考虑高斯公式。分两种情况：

（1），若曲面积分是在闭曲面上进行，则直接应用高斯公式，
\[\oint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=\iiint_{V}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV\]这里 \(V\) 是曲面 \(S\) 所围成的立体。

（2），若曲面是开曲面，则添加辅助曲面使之成为闭曲面，

再应用高斯公式，最后减去辅助曲面上的积分即得原积分的值，\begin{align*}\iint_SPdydz+Qdzdx+Rdxdy&=\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV\\ &\quad -\iint_{S_1}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\end{align*}

对于闭曲面内部有奇点的情形，也可以仿照格林公式，挖去奇点，应用高斯公式在复连通立体上，再减去内部闭曲面上的积分就得到原积分。但是这种方法在高数课程里一般涉及，我们就不做介绍了。

4，适用范围：（1）若曲面简单而且被积函数也简单，直接计算；（2）若曲面是闭曲面，首先考虑应用高斯公式；（3）若曲面是开曲面，但被积函数复杂，考虑添加辅助曲面，变成闭曲面后，利用高斯公式计算，最后再减去辅助曲面上的积分；（4）若被积函数复杂，但又不合适作用高斯公式，可以尝试向量形式的曲面积分。

5，计算方法举例

例1：计算曲面积分 \(\displaystyle \iint_Sxyzdxdy\)，其中 (S) 是球面 \(x^2+y^2+z^2=1\) 的外侧在 \(x\ge 0, y\ge 0\) 的部分。

解：曲面可以分为上、下两部分，上半部分的表达式为 \(S_1: z=\sqrt{1-x^2-y^2}, x,y\ge 0\)，法向量朝上，积分符号为正；下半部分的表达式为 \(S_2: z=-\sqrt{1-x^2-y^2}, x,y\ge 0\)，法向量朝下，积分符号为负。它们的投影区域都是 \(D=\{(x,y)| x^2+y^2\le 1, x,y\ge 0\}\)。所以曲面积分为

\begin{align*}\iint_Sxyzdxdy&=\iint_{S_1}xyzdxdy+\iint_{S_2}xyzdxdy\\ &=\iint_{D}xy(\sqrt{1-x^2-y^2})dxdy-\iint_{D}xy(-\sqrt{1-x^2-y^2})dxdy \\&=2\iint_Dxy(\sqrt{1-x^2-y^2})dxdy=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1r\cos t r\sin t\sqrt{1-r^2}rdrd\theta\end{align*}

令 \(u=1-r^2\)，则 \(du=-2rdr, r^2=1-u\)，所以

\begin{align*}2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1r\cos t r\sin t\sqrt{1-r^2}rdrd\theta&=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_1^0(1-u)\cos t \sin t\sqrt{u}(-\frac{1}{2}du)d\theta\\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1\cos t \sin t(\sqrt{u}-u^{3/2})dudt\\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos t \sin t\left(\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}\right)\Big|_0^1dt\\ &=\frac{4}{15}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos t\sin t dt=\frac{4}{15}\cdot\frac{1}{2}\sin^2t\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &=\frac{2}{15}\end{align*}

例2，计算积分 \(\displaystyle\iint_S(f(x,y,z)+x)dydz+(2f(x,y,z)+y)dzdx+[f(x,y,z)+z]dxdy\)，其中 \(f(x,y,z)\) 是连续函数，\(S\) 是平面 \(x-y+z=1\) 在第四卦限部分的上侧。

解：这里 \(f(x,y,z)\) 是连续函数，具体形式不知道，所以不能应用直接计算方式；又因为它只是连续函数，没有可不可导的条件，也不能应用高斯公式，所以只有利用向量形式（或者两类曲面积分的关系）的曲面积分，希望能够消去 \(f(x,y,z)\)，然后再积分。

因为 \(S:z=1-x+y\)，曲面取上侧，所以 \(\vec{N}=(-f_x,-f_y,1)=(1,-1,1)\)，曲面在 \(xOy\) 平面的投影为 \(D={(x,y)| 0\le x\le 1, x-1\le y\le 0}\)，

曲面积分为

\begin{align*}\iint_S(f(x,y,z)+x)dydz&+(2f(x,y,z)+y)dzdx+[f(x,y,z)+z]dxdy=\iint_D\vec{F}\cdot \vec{N}dxdy\\ &=\iint_D(f(x,y,z)+x,2f(x,y,z)+y,f(x,y,z)+z )\cdot(1,-1,1)dxdy\\ &=\iint_D(x-y+z)dxdy=\iint_D(x-y+1-x+y)dxdy\\ &=\iint_Ddxdy=\frac{1}{2}\end{align*}

最后的结果是因为投影区域是直角三角形，两个底边长都是 \(1\)，它的面积是 \(\frac{1}{2}\)。

例3：求积分\(\displaystyle\oint_S(x-y)dxdy+(y-z)xdydz\)，其中 \(S\) 是柱面 \(x^2+y^2=1\) 及平面 \(z=0,z=3\) 所围成的闭曲面的外侧。

解：这里\(P(x,y,z)=(y-z)x, Q(x,y,z)=0, R(x,y,z)=x-y\)，曲面外侧，所以可以直接应用高斯公式

\begin{align*}\oint_S(x-y)dxdy+(y-z)xdydz&=\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV\\ &=\iiint_V\left(\frac{\partial }{\partial x}((y-z)x)+\frac{\partial }{\partial z}(x-y)\right)dV\\ &=\iiint_V(y-z)dV\end{align*}

因为这个闭曲面所围成的部分是圆柱体，所以应用柱坐标来计算三重积分比较简便，

\begin{align*}\iiint_V(y-z)dV&=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^3(r\sin \theta-z)rdzdrd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^1\left(r^2\sin\theta z-\frac{1}{2}rz^2\right)\Big|_0^3drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^1\left(3r^2\sin\theta-\frac{9}{2}r\right)drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\left(r^3\sin\theta-\frac{9}{4}r^2\right)\Big|_0^1d\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\left(\sin\theta-\frac{9}{4}\right)d\theta=\left(-\cos\theta-\frac{9}{4}\theta\right)\Big|_0^{2\pi}\\ &=-\frac{9}{2}\pi\end{align*}

下一个例子，我们看一下如何利用高斯公式求一个开曲面的曲面积分。我们先添加一个辅助曲面将开曲面变成闭曲面，然后利用高斯公式计算闭曲面上的积分，最后再减去辅助曲面上的积分，就得到我们所求的曲面积分。

例4：求曲面积分 \(\displaystyle\iint_S\left(-\frac{1}{3}x^3+e^{z^2}\right)dydz+\left(-\frac{1}{3}y^3+x\tan z\right)dzdx+4zdxdy\)，其中 \(S\) 为 \(z=x^2+y^2\) 在平面 \(z=4\) 以下的部分，上侧。

解：这是一个开曲面，我们给它加上一个盖子\(S_1: z=4, x^2+y^2\le 4\) ，法向量朝下，组成一个闭曲面，

这个闭曲面的法向量是朝内的，所以

\begin{align*}\iint_S+\iint_{S_1}&=-\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dxdydz\\ &=\iiint_V(-x^2-y^2+4)dV\end{align*}

这个积分区域的投影是圆 \(x^2+y^2\le 4\)，下曲面是\(z=x^2+y^2=r^2\)，上曲面是 \(z=4\)，所以利用柱坐标计算，\[V=\{(r,\theta,z)|0\le \theta\le 2\pi, 0\le r\le 2, r^2\le z\le 4\}\]

我们有

\begin{align*}\iiint_V(-x^2-y^2+4)dV&=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_{r^2}^4(4-r^2)rdzdrd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_{r^2}^4r(4-r^2)z\Big|{r^2}^4drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int{r^2}^4r(16-8r^2+r^4)drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^2(8r^2-2r^4+\frac{1}{6}r^6)\Big|_0^2d\theta=\frac{32}{5}\theta\Big|_0^{2\pi}\\ &=\frac{64}{5}\pi\end{align*}

现在计算辅助曲面 \(S_1\) 的上积分，因为 \(S_1: z=4, x^2+y^2\le 4\)，所以 \(dz=0\)。又因为它的法向量朝下，所以积分号为负，

\begin{align*}\iint_{S_1}&\left(-\frac{1}{3}x^3+e^{z^2}\right)dydz+\left(-\frac{1}{3}y^3+x\tan z\right)dzdx+4zdxdy\\ &=-\iint_{x^2+y^2\le 4}16dxdy=-16\cdot 4\pi\end{align*}

这里，\(1\) 的积分就是平面区域的面积，而圆 \(x^2+y^2\le 4\) 的面积为 \(4\pi\)。

所以

\begin{align*}\iint_S\left(-\frac{1}{3}x^3+e^{z^2}\right)dydz&+\left(-\frac{1}{3}y^3+x\tan z\right)dzdx+4zdxdy\\ &=-\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dxdydz\\ &\quad-\iint_{S_1}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\\ &=-\frac{64}{5}\pi+64\pi=\frac{256}{5}\pi\end{align*}

6，习题与答案

最后给出一些习题，供同学们练习。

1，计算曲面积分 \(\displaystyle\iint_Sy^3dydz+z^2dzdx+xdxdy\)，其中 \(S\) 是曲面 \(z=4-x^2-y^2\) 位于平面 \(z=2x+1\) 上方的部分，方向朝下。

2，设 \(S\) 是曲面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}, x^2+y^2\le 4\) 的下侧，\(f(x,y)\) 是连续函数，计算 \(\displaystyle\iint_S(xf(x,y)+2xy-y)dydz+(yf(x,y)+2y+x)dzdx+(zf(x,y)+z)dxdy\)

3，设空间立体 \(V\) 由平面 \(2x+y+2z=2\) 与三个坐标面围成，\(S\) 是它的外表面，计算曲面积分 \[\oint_S(x^2+1)dydz-2ydzdx+3zdxdy\]

4，求曲面积分 \(\displaystyle\iint_S (y\cos(y^2)+z-1)dydz+\frac{z}{x+1}dzdx+xye^{z^2}dxdy\)，其中 \(S\) 是其中一个顶点在原点，整个位于第一卦限的无底单位正方体，法向量朝向外。

5，求曲面积分 \(\displaystyle\iint_Sz^3\sin e^ydydz+z^3e^{x^2\sin z}dzdx+(y^2+z)dxdy\)，其中 \(S\) 是下半球面 \(x^2+y^2+z^2=4\)，方向朝上。

答案：1 \(\quad 0\)

2 \(\quad 0\)

3 \(\quad\frac{1}{2}\)

4\(\quad\frac{e}{4}\)

5 \(\quad \frac{4}{3}\pi^3\)

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对坐标的曲线积分的计算方式有很多种，我们所知道或者教材上提到过的就有：直接计算，利用格林公式计算，利用 Stokes 公式，利用积分与路径无关以及全微分求积等等。而且有些方法在不同情况下还有不同的变化。这么多方法，再加上对坐标的曲线积分还需要分方向等等，造成了很多同学感觉对坐标的曲线积分很难的印象。

这一篇文章里我们总结一下求对坐标的曲线积分的方法，以及每种方法的应用情况，这样，我们遇到对坐标的曲线积分时，能够采用针对性的方法来求。

事实上，我们只需要掌握两种方法即可：直接计算法和利用格林公式求积分两种方法。因为能够采用全微分求积或者积分路径无关的方法来求曲线积分的，采用格林公式来求更简单直接。所以我们只总结这两种方法。

对于三维闭曲线上的积分，可以应用 Stokes 公式来求，但它的思想与平面上的格林公式一致，我们只简单介绍一下它的方法。

1，直接计算法：我们根据曲线 \(L\) 的表达式的不同形式，将曲线积分化成定积分来计算。

• 若曲线 \(L\) 是由参数方程 \( x=\phi(t),y=\psi(t)\} \)给出，\(t\) 从 \(\alpha\) 到 \(\beta\)，其中 \(t=\alpha\) 对应起点， \(t=\beta\) 对应终点，那么积分 \begin{align*}\int_LP(x,y)dx&+Q(x,y)dy\\&=\int_{\alpha}^{\beta}P(\phi(t),\psi(t))\cdot\phi'(t)dt+Q(\phi(t),\psi(t))\cdot\psi'(t)dt\end{align*}其中 \(x,y\) 都用 \(t\) 表示。这里要注意的是，这里不管 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 谁大谁小，起点就是在下限，终点在上限，这一点跟对弧长的曲线积分不同。
• 若曲线 \(L\) 是由参数方程 \(x=\phi(t),y=\psi(t),z=\gamma(t)\}\) 给出，\(t\) 从 \(\alpha\) 到 \(\beta\)，其中 \(t=\alpha\) 对应起点， \(t=\beta\) 对应终点，那么积分 \begin{align*}\int_LP(x,y,z)dx&+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz\\&=\int_{\alpha}^{\beta}P(\phi(t),\psi(t),\gamma(t))\cdot\phi'(t)dt\\ &\quad+Q(\phi(t),\psi(t),\gamma(t))\cdot\psi'(t)dt\\ &\quad+R(\phi(t),\psi(t),\gamma(t))\cdot\gamma'(t)dt\end{align*}其中 \(x,y,z\) 都用 \(t\) 表示。剩下的部分就是计算定积分了。
• 若曲线是由一个函数 \(y=f(x)\)， \(x\) 从 \(a\) 到 \(b\)，那么积分 \[\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{a}^{b}P(x,f(x))+Q(x,f(x))\cdot f'(x)dx\]

2，若 \(L\) 是平面曲线，则可以用格林公式来计算。

• 若 \(L\) 是平面闭曲线，且在曲线内部 \(P(x,y), Q(x,y)\) 有一阶连续偏导数，这种情况可以直接应用格林公式；
• 若 \(L\) 是平面闭曲线，但是在曲线内部 \(P(x,y), Q(x,y)\) 有奇点（一阶偏导数不存在或者不连续），这种情况我们通过添加辅助线，将奇点挖掉，然后应用格林公式。最后将辅助线上的积分减去，就得到了原来的曲线积分的值，\begin{align*}\oint_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy&=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dydx\\ &\quad-\oint_{L_1}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\end{align*} 这里 \(L\) 取正向， \(L_1\) 都取反向（顺时针方向）。

• 若 \(L\) 是平面开曲线，我们可以通过添加简单的辅助线（为了方便计算），使新的曲线成为一个简单闭曲线，然后应用格林公式，最后减去辅助线上的积分，就得到原曲线积分的值。\begin{align*}\oint_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy&=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\\ &\quad-\int_{L_1}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\end{align*}

3，若 \(L\) 是一个空间闭曲线，则可应用Stokes 公式，将曲线积分化成曲面积分。在曲面的选择上，可以选择比较简单的、容易计算的曲面来进行计算。（因为以 \(L\) 为边界的曲面很多，我们可以选择最简单的曲面。）

理论上来说，空间开曲线也可以通过添加辅助线的方式来应用 Stokes 公式，但一般来说，这样的计算相对繁琐，我们一般不考虑。

4，计算方法选择：现在的问题是在什么情况采取什么方法来求积分？

基本的思想是：（1）闭曲线，基本上采用格林公式或者 Stokes 公式来求，不管内部是不是有奇点；

（2）开曲线：如果曲线简单（例如直线）并且被积函数简单，直接计算；

（3）开曲线：如果曲线复杂，或者被积函数复杂，采用格林公式计算。

现在我们来看如何应用上述的结论。

例1，求积分 \(\int_L(x+y)dx+(y-x)dy\)，其中 \(L\) 是抛物线 \(y^2=x\) 从点 \((1,1)\) 到 \((4,2)\) 之间的一段弧。

解：这里，被积函数很简单，曲线也简单，可以用直接方法计算。用 \(y\) 作自变量会更简单一点，不用计算根式函数的导数。

\begin{align*}\int_L(x+y)dx+(y-x)dy&=\int_1^2[(y^2+y)\cdot 2y+(y-y^2)]dy\\ &=\int_1^2(2y^3+y^2+y)dy\\ &=\frac{1}{2}y^4+\frac{1}{3}y^3+\frac{1}{2}y^2\Big|_1^2\\ &=8+\frac{8}{3}+2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\\ &=\frac{34}{3}\end{align*}

例2：计算 \(\displaystyle\oint_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}\)，其中 \(L\) 是 （1）圆周 \((x-2)^2+y^2=1\)；（2）原点在其内部的任一正向闭曲线。

解：（1）曲线为圆心在点 \((2,0)\)，半径为 \(1\) 的圆周，在其内部 \(D\) 上 \(P(x,y), Q(x,y)\) 一阶连续可导。所以由格林公式

\begin{align*}\oint_{L}\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}&=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dydx\\ &=\iint_D\left(\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}-\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}\frac{\partial P}{\partial y}\right)dydx\\ &=\iint_D 0dydx=0\end{align*}

（2）因为被积函数在原点处没有定义，所以原点是被积函数的奇点。我们以原点为心，作一个半径为 \(\epsilon \) 的圆 \(L_{\epsilon}\)，那么被积函数在介于 \(L\) 与 \(L_{\epsilon}\) 之间的区域内是一阶连续可导的。

这里 \(L\) 是正向，逆时针，\(L_{\epsilon}\) 是反向，顺时针。介于这两条曲线之间的区域我们记为 \(D\)，它的边界为 \(L+L_{\epsilon}\)，由格林公式，

\[\oint_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}+\oint_{L_{\epsilon}}\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\]

因为 \[\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2}, \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2}\]所以 \[\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0\quad\Rightarrow\quad\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=0\]

所以我们得到 \[\oint_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}=-\oint_{L_{\epsilon}}\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}\]

因为 \(L_{\epsilon}\) 可用参数方程表示为 \(x=\epsilon\cos t, y=\epsilon \sin t\)，顺时针方向，所以 \(t\) 是从 \(2\pi\) 到 \(0\)，

\begin{align*}-\oint_{L_{\epsilon}}\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}&= -\int_{2\pi}^0\left(\frac{-\epsilon\sin t \epsilon (-\sin t)+\epsilon\cos t\epsilon\cos t}{\epsilon^2}\right)dt\\ &=\int_0^{2\pi}\frac{\epsilon^2\sin^2t+\epsilon^2\cos^2t}{\epsilon^2}dt=\int_0^{2\pi}dt=2\pi\end{align*}

所以 \[\oint_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}=2\pi\]

例3：计算 \(\int_L(2xy^3-y^2\cos x)dx+(1-2y\sin x+3x^2y^2)dy\)，其中 \(L\) 是抛物线 \(2x=\pi y^2\) 上从点 \((0,0)\) 到 \((\frac{\pi}{2}, 1)\) 之间的一段。

解：积分的曲线如图：

如果直接计算，这个积分基本上是求不出来的，但是利用格林公式，计算就变得很简单。但是这个曲线不是闭曲线，我们需要添加辅助线来将它变成闭曲线。

我们看到整个闭曲线的方向是顺时针方向，它是逆向的，所以

\begin{align*}\left(\int_L+\int_{L_1}+\int_{L_2}\right)P(x,y)dx&+Q(x,y)dy=-\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\end{align*}

我们先来计算右边的积分。因为

\begin{align*}&\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(1-2y\sin x+3x^2y^2)=-2y\cos x+6xy^2,\\ &\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy^3-y^2\cos x)=6xy^2-2y\cos x\end{align*}

所以 \[\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0,\qquad \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=0\]

那么 \[\int_LPdx+Qdy=-\int_{L_1}Pdx+Qdy-\int_{L_2}Pdx+Qdy\]

在 \(L_1\) 上，\(x=\frac{\pi}{2}, dx=0\)， \(y\) 从 \(1\) 到 \(0\)。所以

\begin{align*}-\int_{L_1}Pdx+Qdy&=-\int_1^0Q(x,y)dy\\ &=-\int_1^0\left(1-2y+3\left(\frac{\pi}{2}\right)^2y^2\right)dy\\ &=\int_0^1\left(1-2y+3\left(\frac{\pi}{2}\right)^2y^2\right)dy\\ &=y-y^2+\frac{\pi^2}{4}y^3\Big|_0^1=\frac{\pi^2}{4}\end{align*}

在 \(L_2\) 上， \(y=0,dy=0\)，\(x\) 从 \(\frac{\pi}{2}\) 到 \(0\)。所以

\[-\int_{L_2}Pdx+Qdy=-\int_{L_2}Pdx=-\int_{L_2}0dx=0\]

所以

\[\int_L(2xy^3-y^2\cos x)dx+(1-2y\sin x+3x^2y^2)dy=\frac{\pi^2}{4}\]

最后是一些习题供同学们练习。

1，设 (C) 是从 ((1,0)) 到 ((0,1)) 再到((-1,0)) 的折线，求下列曲线积分
（1）\(\displaystyle\int_C2xydx+x^2dy\);（2）\(\displaystyle\int_Cye^{xy}dx+xe^{xy}dy\)；（3）\(\displaystyle\int_Cx^{2/3}dx+e^{7y}dy\)。

2，求曲线积分 \(\displaystyle\int_C(x^2+y)dx+xdy\)，其中 \(C\) 是曲线 \(y=9-x^2\) 从 \((-3,0)\) 到 \((3,0)\) 的一段。

3，求积分 \(\displaystyle\int_Cxydx+(e^y+x^2)dy\)，其中 (C) 是由 \(y=x^2+4x+4\) 与 (y=4-x^2) 围成的区域的正向边界。

4，计算积分 \(\int_C\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy\)，其中 \(C\) 为（1）任意一条原点在其内部的正向闭曲线；（2）任意原点在其外部的正向闭曲线；（3）曲线 \(y=\frac{1}{4}x^2+1\) 从点 \((-2,2)\) 到 \((2,2)\) 之间的一段；（4）曲线 \(y=x^2-2\) 从点 \((-2,2)\) 到 \(2,2\) 之间的一段。

5，求积分 \(\displaystyle\oint_C\frac{4x-y}{4x^2+y^2}dx+\frac{x+y}{4x^2+y^2}dy\)，其中 \(C\) 为 \(x^2+y^2=2\)， 逆时针方向。

答案：1（1）\(\quad 0\quad \)（2）\(\quad 0\quad\)（3）\(\quad\frac{6}{5}\)

2\(\quad 18\quad\) 3 \(\quad-\frac{8}{3}\quad \)

4 （1）\(\quad2\pi\quad \)（2）\(\quad0\quad\)（3）\(\quad-\frac{\pi}{2}\quad\)（4）\(\quad \frac{3\pi}{2}\)

5 \(\quad\pi\quad\)