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我是怎么自学数学的

自学数学,一要准备几本不同的教材参照使用;二要看书仔细,不能遗漏一字一句;三要独立完成书上的例题;四要多做习题,最好完成一本习题集;五要选好习题集,选择只有答案没有解答过程的习题集。

我本来是中专生,专业是会计。后来自学数学,考取了数学专业的研究生,毕业后,去大学教数学。

我第一次接触高等数学,是中专毕业三年以后。那时候,连三角函数是什么东西我都弄不清楚。可以说,我是连高中数学的基础都没有。之前虽然在中专学过一年半的数学,但是一来时间过得太久,二来本来就学得不多,学得不好。

那时候的自学考试,是完全的“自学”。我在一个偏远山区的乡政府里上班,要去县城的话,一天只有一班车。学习的资料,除了自学考试的教材,就没有了,周围也没有别人参加自学考试,更不用说找到懂数学的人了。那时也没有什么学校开办自学考试班,就算是有,也没办法参加,一没钱,二没时间。

听其它的朋友说过一个故事,说有一个人参加自学考试,其它十二门都考过了,就高等数学考了好几次,都不及格,在最后一门课程竟然放弃了!

那个时候,自学考试一年考两次,一月份报名,四月份考,七月份报名,十月份考。我拿到高等数学教材以后,看了一个月的书,结果是连极限的概念都没弄懂,后面只有两个月的时间,把剩下的部分勉强学完了,去参加考试,结果差几分,没及格。后来再考一次,六十几分,总算是过了。

专科考完之后,我一边考研,一边考本科阶段自学考试。本科阶段的数学称为《高等数学(二)》,内容是线性代数与概率统计,这次是一次性考过,成绩忘记了。这次可能是因为考研需要要考这两门,一来学习时间更多,二来有了前次考试的经验,学起来更有效率一些。在本科还差四门课程就考完的时候,考上了研究生,就没有继续考本科课程了。

第一次参加考研,成绩是不忍卒睹,再一次参加考试,数学还是没能上线。再下一次,准备考试时,整整做完了一本高等数学习题集,又将一本线性代数教材的课后习题全做完,只是概率统计没能做太多的习题。这一次的考试,数学的成绩是62。那时候的总分是 100分, 数学单科分数线经常是 50 分,有时候甚至是 45 分上线。62 分,算得上是难得的高分了。

我记得那一年去学校研究生院查分,老师先问我几门公共课的分数,我报了我的分数后(英语61,政治61,数学62)以后,老师非常惊讶:公共课这么高的分数,怎么会没上线?(我总分324,分数线325,差一分上线)因为两门专业课分别为69分和71分,对于其它同学,专业课动不动就八、九十分来说,我这专业课分数跟没学差不多。

后来,听其它同学说,会计专业(或者经济专业)的专业课的考试题,很多都是老师在课堂上讲过的,或者曾经是这门课的作业,这对我来说,极为不利。于是在那一年,决定换专业,转学理工,考虑的就是理工科,不管哪个学校,内容应该都差不多,不会因为不同的老师有太大的差异。

考虑过后,理工类的课程,我只学过几门数学,所以决定转学数学。我学过的是高等数学、线性代数及概率统计,数学系对应的课程为数学分析、高等代数与概率统计。于是,那一年又将没有学过的数学专业部分的内容学了一遍。也正是那一年,我考上了研究生。

在学校通知复试的同时,学校通知我需要加考两门专业课(我是专科生,又是跨专业),于是,接到通知后的两个星期内,我又突击学习了两门数学专业课:解析几何和常微分方程。当时捡了最重要的部分学习,最后通过了复试。

入学以后,我的入学成绩是全班同学的最后一名,数学基础是所有同学中最差的。入学时,满打满算,我也就学了五门数学课程。在上研究生课程时,很多课程没法听懂,因为先修课程没学过。这期间只有不断地补本科的课程,才能跟得上研究生课程的学习。又因为没办法去跟本科生一起上课,又只有自学。复变函数、实变函数、泛函分析、抽象代数、数学物理方程这些课程都是这段时间补上的。毕业时,总算是补上了本科阶段的数学知识。

研究生毕业,进入大学教书以后,我花了大量业余时间去学习读研时没弄懂的内容。这也是我的一个个性,以前没弄懂的东西,总是想方设法去弄懂。这样持续几年以后,将以前读研时没弄懂的,缺的知识慢慢补上来,最后终于能够独立地进行数学研究,发表几篇不入流的数学论文,算是一个真正的数学工作者了。

在我自学数学的这些年中,走了不少冤枉路,特别是在头几年,学习方法和学习效率都不好。幸好慢慢地也积累了一些学习的经验,现在总结一下,可供同学们参考,希望对同学们能有所帮助。

一、教材。我在学每一门课程时,手头都备有好几本教材,除了开始的那段时期外,那时候没地方买书。 不同的教材,叙述的方式都不尽相同,相当于不同的老师,教学的风格都不一样。而且,不同的教材,对同一个问题的叙述都不一样,解释的角度也不一样。如果在一本教材里,某个问题你看不懂,也许换一个教材,换一个说法你就懂了。

当然,这些教材里,你需要选一本作为主要的教材,以这本教材作为学习的主线和主要顺序,其它的教材,在需要的时候参考,没必要每一本教材都完整地看一遍。

二、关于看书。我最大的教训在这里。以前学的专业是会计,又爱看小说。看书的时候,往往一目五行甚至十行,对于感觉不重要的部分或者不感兴趣的细节,往往直接跳过。对于很多解释性的文字,往往直接忽略。这样看书的速度很快,也不太影响专业知识的获取。但是看数学书就不一样了,看数学书,得一行一行地看,一个字一个字的看。有时候一个字没看到,就理解不了 一个定义或者定理。解释性的文字,不看的话,就不能很好地理解前面的讲述的内容。所以看数学书,一定仔细,不能略过任何一部分。

另外,看数学书,往往需要看一两行或者一两段,就停下来思考一下,自己是不是真懂了这一部分,能不能够用自己的话将这一部分解释清楚,能不能自己给出一个具体的例子等等。这些都是能够检验你是不是真正理解了这些内容。

三、关于例题。书上的例题应该自己动手做一遍。看懂例题是没有用的。我刚开始学数学时,看完例题就去做题,可经常做不对,又只好回来看例题,对照着例题,一步一步地看,看看自己做的题到底是什么地方出错了。后来,每个例题都自己先做一遍,再去做习题,这样做题的准确率更高了,做题的思路也更清晰,做题的速度也更快了。

做例题,不能看着它的解答一步一步跟着做,这样做出来的例题,也不是你的。你需要将例题的解答盖住,把例题当成习题来做,做完后再对照解答,看看不没有什么地方没有掌握。如果不能一次将例题从头做到尾,就证明这个例题你没有掌握。

四、关于做题。没有哪一个人能够不做题就学会数学了的。很多的数学教材在序言里会来这么一句:习题是本教材的一部分,同学应该尽量们多做课后的习题。

要想完完全全掌握一门数学课程,应该做完一本习题集,至少至少应该做完书后的习题。我前面几次考研,数学都考得很惨,但当我做完一本高等数学习题集,特别是做完习题集里面所有不定积分的题目时,突然感觉高等数学好简单!再之后,做完了一本线性代数课后的习题,也感觉线性代数变得简单多了。当年的数学就考得比较理想。

五、关于习题集。习题集应该是只有答案没有解答的习题集。你做完了知道自己做得对不对。不对的话,再仔细检查自己错在哪里。查错的过程能让你的理解能力提升一大截。有解答的习题集让你不自觉地去看它的正确解答,远不如自己查出自己错在哪里对你有用。

以上这些就是我这些年学习数学的经验,希望能对你有用。如果你觉得有用,可以推荐给你的同学朋友,谢谢!

线性代数必会技巧细说

线性代数所有的计算基本上基于一个技巧:初等变换。如果掌握初等变换及其相应的计算,线性代数就变得容易了。

公共课的线性代数,它的所有的计算基本上基于两个技巧:初等变换,行列式的计算。当然,这里不包括数学系的线性代数或者高等代数课程,数学系的线性代数或者高等代数,不以计算为主。

公共课的线性代数,计算基本上离不开这两个技巧。甚至,可以将行列式的计算也归入到初等变换中来,这样,线性代数的计算技巧就只有一个:初等变换。掌握了这个技巧,那么线性代数的计算将不是一个问题。我们将这个题目细细地述说一下。

一、解线性方程组及判定方程组有解无解:只需要将系数矩阵(齐次线性方程组)或者增广矩阵(非齐次线性方程组)作初等变换,将它们化成行最简矩阵,则可以直接写出方程组的解(或者判定方程组有解无解)。例如,对线性方程组 \(A\vec{x}=\vec{b}\),其中
\[A=
\begin{pmatrix}
1& 1& 2& 3\\
2& 0& 0& 2\\
3 &2& 4& 7
\end{pmatrix},\quad
\vec{b}=
\begin{pmatrix}
1\\
4\\
4
\end{pmatrix}
\]

的增广矩阵作初等变换,化成行最简矩阵,

\[
(A,\vec{b})=
\begin{pmatrix}
1& 1& 2& 3 &\vdots& 1\\
2& 0& 0& 2&\vdots& 4\\
3 &2& 4& 7 &\vdots& 4
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1& 0& 0&1 &\vdots&2\\
0& 1& 2& 2&\vdots& -1\\
0 &0& 0& 0&\vdots& 0
\end{pmatrix}
\]

则方程组的解为

\[
\vec{\xi}=c_1
\begin{pmatrix}
0\\
-2\\
1\\
0
\end{pmatrix}+c_2
\begin{pmatrix}
-1\\
-2\\
0\\
1
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\]

这一部分,可以参考文章如何快速地写出方程组的解?

二、求行列式。求数字行列式的基本方法是降阶法,就是先用初等变换,将行列式的一行或者一列化成只有一个不为 \(0\),然后按这一行或者这一列展开,行列的阶就降了一阶,依次进行,最后变成二阶行列式,就可以利用二阶行列式的公式计算了。例如

\begin{align*}|A|&=\begin{vmatrix}1&1&-1&3\\ -1&-1&2&1\\ 2&5&2&4\\ 1&2&3&2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&-1&3\\ 0&0&1&4\\0&3&4&-2\\0&1&4&-1\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix} 0&1&4\\3&4&-2\\1&4&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0&1&4\\0&-8&1\\1&4&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&4\\-8&1\end{vmatrix}=33\end{align*}

就是先将第一列化成只有一个元素不为 \(0\),然后再将行列式按第一列展开,从四阶变成三阶;然后再做初等变换,将新的行列式的第一列化成只一个元素不为 \(0\),再按照第一列展开,变成二阶行列式,最后利用二阶行列式的公式得到了行列式的值。

这一部分,可以参考课程行列式的性质及其计算

三、求逆矩阵。求逆矩阵的方法是将方阵与单位矩阵横排成一个新的矩阵,再对这个矩阵作初等变换,当矩阵的左边,就是原方阵,变成单位矩阵的时候,右边的矩阵,就是单位矩阵就变成了原方阵的逆矩阵了。例如,求 \(A=\begin{pmatrix}0&1&2\\ 1&0&3\\ 4&-3&8\end{pmatrix}\) 的逆矩阵。

\begin{align*}(A,I)&=\begin{pmatrix}0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 1&0&3&\vdots&0&1&0\\ 4&-3&8&\vdots&0&0&1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&3&\vdots&0&1&0\\0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 4&-3&8&\vdots&0&0&1\end{pmatrix} \\ &\sim \begin{pmatrix}1&0&3&\vdots&0&1&0\\0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 0&-3&-4&\vdots&0&-4&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&3&\vdots&0&1&0\\0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 0&0&1&\vdots&\frac{3}{2}&-2&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&0&0&\vdots&-\frac{9}{2}&7&-\frac{3}{2}\\0&1&0&\vdots&-2&4&-1\\ 0&0&1&\vdots&\frac{3}{2}&-2&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\end{align*}

所以 \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{9}{2}&7&-\frac{3}{2}\\-2&4&-1\\ \frac{3}{2}&-2&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)

这一部分,可以参考文章如何求矩阵的逆矩阵?

四、判断向量组线性相关还是线性无关。具体做法是,将(列)向量组横排成一个矩阵,然后将这个矩阵作初等变换,如果矩阵的秩(就是行阶梯矩阵的非零行的行数)小于向量的个数,就是线性相关;如果等于向量的个数,就是线性无关。例如,\(\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}, \vec{a}_2=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}, \vec{a}_3=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\), 问 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\) 是线性相关还是线性无关?

解法是,

\begin{align*}A&=(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3)=\begin{pmatrix}1&1&1\\ -1&2&0\\ 0&0&3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&1\\ 0&3&1\\ 0&0&3\end{pmatrix}\end{align*}

\(R(A)=3\),所以向量组线性无关。

五、求向量组的极大无关组,以及将其它向量用极大无关组线性表示。做法是,将(列)向量组横排成一个矩阵,将这个矩阵做初等变换,化成行最简矩阵,行最简矩阵的每一个非零行的第一个非零元所在的列,对应原矩阵的列向量,就是极大无关组的向量。行最简矩阵的各列之间的关系,就是原矩阵各向量之间的关系。例如,求向量组\[\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\4\end{pmatrix},\vec{a}_2=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix}, \vec{a}_3=\begin{pmatrix}9\\6\\-6\\9\end{pmatrix},\vec{a}_4=\begin{pmatrix}5\\5\\1\\1\end{pmatrix},\vec{a}_5=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\\-9\end{pmatrix}\] 的极大无关组,并且将其它向量用极大无关组线性表示。

\[( \vec{a}_1 , \vec{a}_2 , \vec{a}_3 , \vec{a}_4 , \vec{a}_5 )=\begin{pmatrix} 1&-2&9&5&4\\ 1&-1&6&5&-3\\ -2&0&-6&1&-2\\ 4&1&9&1&9 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&3&0&0\\ 0&1&-3&0&-7\\ 0&0&0&1&-2\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} \]

所以原向量组的一个极大无关组为

\[ \vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\4\end{pmatrix},\quad \vec{a}_2=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad \vec{a}_4=\begin{pmatrix}5\\5\\1\\1\end{pmatrix} \]

而其它两个向量可以用极大无关组表示

\[\vec{a}_3=3\vec{a}_1-3\vec{a}_2,\quad \vec{a}_5=-7\vec{a}_2-2\vec{a}_4 \]

这一部分的内容,可以参考文章如何求一个向量组的极大无关组,以及如何用极大无关组线性表示其它向量?

六、特征值、特征向量、矩阵的对角化。求特征值本质就是求行列式 \(|A-\lambda I|\),求特征向量就是解线性方程组 \((A-\lambda I)\vec{x}=0\),矩阵对角化就是将特征向量排成一个矩阵,就是前面几个部分的综合应用。这部分可以参考 线性代数复习:特征值、特征向量与矩阵对角化

七、行列式的计算:具体的数字行列式的计算,是利用初等变换得到。但也有一些计算方法,例如递推法,拆分法,是利用行列式的性质来进行计算,这些计算方法可以了解,不需要花大力气去掌握。实际上,行列的计算方法还有很多很多种,只是行列式在现代的线性代数里,没有一百多年前那么重要了,所以也没有必要花费太多的时间去研究。

八、正交化和投影。这是另一个不需要初等变换的地方,但需要掌握。这是内积空间的主要计算部分。

所以总的来说,如果初等变换不掌握,挂科、重修基本上是板上订钉的事儿了。当然如果掌握了上面所说的几个部分,线性代数应该就不太难了,不要说这门课有多精通,考试过关应该不成问题的。

利用高阶微分方程求解一阶线性微分方程组

我们知道,每一个高阶微分方程都可以对应一个一阶微分方程组,所以高阶的微分方程可以用一阶微分方程组来求解。反之,一阶的微分方程组也可以用高阶的微分方程来求解。我们来看一下如何利用高阶微分方程来求解一阶的线性微分方程组。

我们以两个函数的方程组来说明如何使用这个方法。设有一阶方程组

\begin{cases}\frac{dx}{dt}=f(t,x,y)\\ \frac{dy}{dt}=g(t,x,y)\end{cases}

将第一个方程求导,得到 \(\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{df}{dt}\),将方程组代入到右边,得到 \[\frac{d^2x}{dt^2}=h(t,x,y)\]

然后将此式与第一个方程联立,消去 \(y\),得到关于 \(x\) 的二阶方程,求出此方程,再代入到方程组里的第二个方程,就可以求出 \(y\)。

对于三个和三个以上的未知函数的方程,可以类似处理。

我们来看例题。

例1,求方程组的通解,

\begin{cases}\frac{dx}{dt}+y=\cos t\\ \frac{dy}{dt}+x=\sin t\end{cases}

解:将第一个方程对 \(t\) 求导,得到

\[\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{dy}{dt}=-\sin t\]

将 \(\frac{dy}{dt}=-x+\sin t\) 代入上式,得到

\[\frac{d^2x}{dt^2}-x=-2\sin t\]

利用二阶常系数非齐次方程的解,不难求出它的通解为 \[x=C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\sin t\]

将它代入第二个方程,得到

\[\frac{dy}{dt}+C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\sin t=\sin t\]

也就是

\[\frac{dy}{dt}=-C_1e^{x}-C_2e^{-x}\]

两边积分,就得到

\[y=-C_1e^x+C_2e^{-x}\]

所以方程的通解为

\begin{cases}x=C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\sin t\\ y=-C_1e^x+C_2e^{-x}\end{cases}

如何理解中心极限定理?

学到中心极限定理的时候,很多同学一看到那一大堆的公式与叙述的时候,就感到头大。实际上,中心极限定理很容易理解。

我们看到,一般的正态分布 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) 可以通过变换 \(\displaystyle Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\) 将一般正正态分布化成标准正态分布。我们知道一般正态分布 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) 中的参数 \(\mu\) 就是随机变量的期望,\(\sigma^2\) 就是方差,\(\sigma\) 就是标准差。一般正态分布的这个变换用文字来表示就是

\[\frac{\text{随机变量}-\text{期望}}{\text{标准差}}\]

服从标准正态分布。

那么中心极限定理可以这么理解:\[\frac{\text{随机变量}-\text{期望}}{\text{标准差}}\] 近似服从标准正态分布,它以标准正态分布为极限。

我们首先来看一下独立同分布的中心极限定理,若 \(X_1,X_2,\cdots, X_n\) 相互独立,服从同一分布,具有期望(均值)\(E(X_i)=\mu\) 和方差 \(D(X_i)=\sigma^2, 1\le i\le n\),那么 \(\sum_{k=1}^nX_k\) 的期望与方差为 \(E(\sum_{k=1}^nX_k)=n\mu\), \(D(\sum_{k=1}^nX_k)=n\sigma^2\),标准差为 \(\sqrt{n}\sigma\),而中心极限定理给出了随机变量

\[\frac{\sum_{k=1}^nX_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\]

以正态分布为极限。

同样的分析,二项式分布 \(X\sim B(n,p)\) 的均值为 \(E(X)=np\),方差为 \(D(X)=npq\),中心极限定理给出了

\[\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\]

以标准正态分布为极限。

李雅普诺夫定理是一样的。若 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 相互独立,具有期望 \(E(X_i)=\mu_i\),方差 \(D(X)=\sigma^2_i, 1\le i\le n\),那么由期望与方差的性质,\(\sum_{k=1}^nX_k\) 的期望为 \(E(\sum_{k=1}^nX_k)=\sum_{k=1}^n\mu_k\),方差为 \(D(\sum_{k=1}^nX_k)=\sum_{k=1}^n\sigma^2_k\),中心极限定理给出了

\[\frac{\sum_{k=1}^nX_k-\sum_{k=1}^n\mu_k}{\sqrt{\sum_{k=1}^n\sigma^2_k}}\]

以标准正态分布为极限。

如何计算对坐标的曲面积分

对坐标的曲面积分可能是高等数学里最难的一部分了,这里我们总结了求对坐标的曲面积分的各种方法,并且举例说明这些方法的应用范围。

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1,计算方法
对坐标的曲面积分的计算方法主要是三种:直接计算,利用向量形式的曲面积分(两类曲面积分的关系),以及利用高斯公式来计算。

(1)直接计算
直接计算的话,就是将曲面积分化成二重积分来算,例如
\begin{align*}\iint_SR(x,y,z)dxdy=\pm\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy\end{align*}
这里 \(D_{xy}\) 就是曲面在 \(xOy\) 平面上的投影,如果是曲面的上侧,取正号,如果是曲面的下侧,则取负号。同理
\[\iint_SQ(x,y,z)dzdx=\pm\iint_{D_{zx}}Q(x,y(x,z),z)dzdx\]
\(D_{zx}\) 就是曲面在 \(xOz\) 平面上的投影,曲面右侧取正,左侧取负;
\[\iint_SP(x,y,z)dydz=\pm\iint_{D_{yz}}Q(x(y,z),y,z)dydz\]\(D_{yz}\) 就是曲面在 \(yOz\) 平面上的投影,前侧取正,后侧取负。

2,利用曲面积分的向量形式(两类曲面积分的关系)

因为 \[\iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=\iint_S\vec{F}(x,y,z)\cdot \vec{n}dS\] 这里 \(\vec{F}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\), \(\vec{n}\) 是曲面的单位法向量。我们分两种情况计算。

(1)曲面由 \(z=f(x,y)\) 给出,则\[\iint_S\vec{F}\cdot\vec{n}dS=\pm\iint_D(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\cdot(-f_x,-f_y,1)dxdy\]如果曲面是上侧,就取正,如果曲面是下侧,就取负。

这是因为如果曲面取上侧,曲面法向量的第三个分量为正,所曲面的法向量为 \(\vec{N}=(-f_x,-f_y, 1)\);曲面下侧,第三个分量取负,所以 \(\vec{N}=(f_x,f_y, -1)\)。单位法向量为
\[\vec{n}=\pm\frac{1}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}}(-f_x,-f_y, 1)\]
而面积元
\[dS=\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}dxdy\]联合起来,就是
\[\iint_S\vec{F}\cdot\vec{n}dS=\pm\iint_D(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\cdot(-g_x,-g_y,1)dxdy\]

(2)曲面由隐函数 \(G(x,y,z)=0\) 给出,由隐函数求导公式及上面的结论,得到
\[\iint_S\vec{F}\cdot\vec{n}dS=\pm\iint_D(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\cdot(\frac{G_x}{G_z},\frac{G_y}{G_z},1)dxdy\]

3,利用高斯公式

闭曲面上的积分首先要考虑高斯公式。分两种情况:

(1),若曲面积分是在闭曲面上进行,则直接应用高斯公式,
\[\oint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=\iiint_{V}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV\]这里 \(V\) 是曲面 \(S\) 所围成的立体。

(2),若曲面是开曲面,则添加辅助曲面使之成为闭曲面,

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再应用高斯公式,最后减去辅助曲面上的积分即得原积分的值,\begin{align*}\iint_SPdydz+Qdzdx+Rdxdy&=\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV\\ &\quad -\iint_{S_1}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\end{align*}

对于闭曲面内部有奇点的情形,也可以仿照格林公式,挖去奇点,应用高斯公式在复连通立体上,再减去内部闭曲面上的积分就得到原积分。但是这种方法在高数课程里一般涉及,我们就不做介绍了。

4,适用范围:(1)若曲面简单而且被积函数也简单,直接计算;(2)若曲面是闭曲面,首先考虑应用高斯公式;(3)若曲面是开曲面,但被积函数复杂,考虑添加辅助曲面,变成闭曲面后,利用高斯公式计算,最后再减去辅助曲面上的积分;(4)若被积函数复杂,但又不合适作用高斯公式,可以尝试向量形式的曲面积分。

5,计算方法举例

例1:计算曲面积分 \(\displaystyle \iint_Sxyzdxdy\),其中 (S) 是球面 \(x^2+y^2+z^2=1\) 的外侧在 \(x\ge 0, y\ge 0\) 的部分。

解:曲面可以分为上、下两部分,上半部分的表达式为 \(S_1: z=\sqrt{1-x^2-y^2}, x,y\ge 0\),法向量朝上,积分符号为正;下半部分的表达式为 \(S_2: z=-\sqrt{1-x^2-y^2}, x,y\ge 0\),法向量朝下,积分符号为负。它们的投影区域都是 \(D=\{(x,y)| x^2+y^2\le 1, x,y\ge 0\}\)。所以曲面积分为

\begin{align*}\iint_Sxyzdxdy&=\iint_{S_1}xyzdxdy+\iint_{S_2}xyzdxdy\\ &=\iint_{D}xy(\sqrt{1-x^2-y^2})dxdy-\iint_{D}xy(-\sqrt{1-x^2-y^2})dxdy \\&=2\iint_Dxy(\sqrt{1-x^2-y^2})dxdy=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1r\cos t r\sin t\sqrt{1-r^2}rdrd\theta\end{align*}

令 \(u=1-r^2\),则 \(du=-2rdr, r^2=1-u\),所以

\begin{align*}2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1r\cos t r\sin t\sqrt{1-r^2}rdrd\theta&=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_1^0(1-u)\cos t \sin t\sqrt{u}(-\frac{1}{2}du)d\theta\\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1\cos t \sin t(\sqrt{u}-u^{3/2})dudt\\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos t \sin t\left(\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}\right)\Big|_0^1dt\\ &=\frac{4}{15}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos t\sin t dt=\frac{4}{15}\cdot\frac{1}{2}\sin^2t\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &=\frac{2}{15}\end{align*}

例2,计算积分 \(\displaystyle\iint_S(f(x,y,z)+x)dydz+(2f(x,y,z)+y)dzdx+[f(x,y,z)+z]dxdy\),其中 \(f(x,y,z)\) 是连续函数,\(S\) 是平面 \(x-y+z=1\) 在第四卦限部分的上侧。

解:这里 \(f(x,y,z)\) 是连续函数,具体形式不知道,所以不能应用直接计算方式;又因为它只是连续函数,没有可不可导的条件,也不能应用高斯公式,所以只有利用向量形式(或者两类曲面积分的关系)的曲面积分,希望能够消去 \(f(x,y,z)\),然后再积分。

因为 \(S:z=1-x+y\),曲面取上侧,所以 \(\vec{N}=(-f_x,-f_y,1)=(1,-1,1)\),曲面在 \(xOy\) 平面的投影为 \(D={(x,y)| 0\le x\le 1, x-1\le y\le 0}\),

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曲面积分为

\begin{align*}\iint_S(f(x,y,z)+x)dydz&+(2f(x,y,z)+y)dzdx+[f(x,y,z)+z]dxdy=\iint_D\vec{F}\cdot \vec{N}dxdy\\ &=\iint_D(f(x,y,z)+x,2f(x,y,z)+y,f(x,y,z)+z )\cdot(1,-1,1)dxdy\\ &=\iint_D(x-y+z)dxdy=\iint_D(x-y+1-x+y)dxdy\\ &=\iint_Ddxdy=\frac{1}{2}\end{align*}

最后的结果是因为投影区域是直角三角形,两个底边长都是 \(1\),它的面积是 \(\frac{1}{2}\)。

例3:求积分\(\displaystyle\oint_S(x-y)dxdy+(y-z)xdydz\),其中 \(S\) 是柱面 \(x^2+y^2=1\) 及平面 \(z=0,z=3\) 所围成的闭曲面的外侧。

解:这里\(P(x,y,z)=(y-z)x, Q(x,y,z)=0, R(x,y,z)=x-y\),曲面外侧,所以可以直接应用高斯公式

\begin{align*}\oint_S(x-y)dxdy+(y-z)xdydz&=\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV\\ &=\iiint_V\left(\frac{\partial }{\partial x}((y-z)x)+\frac{\partial }{\partial z}(x-y)\right)dV\\ &=\iiint_V(y-z)dV\end{align*}

因为这个闭曲面所围成的部分是圆柱体,所以应用柱坐标来计算三重积分比较简便,

\begin{align*}\iiint_V(y-z)dV&=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^3(r\sin \theta-z)rdzdrd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^1\left(r^2\sin\theta z-\frac{1}{2}rz^2\right)\Big|_0^3drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^1\left(3r^2\sin\theta-\frac{9}{2}r\right)drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\left(r^3\sin\theta-\frac{9}{4}r^2\right)\Big|_0^1d\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\left(\sin\theta-\frac{9}{4}\right)d\theta=\left(-\cos\theta-\frac{9}{4}\theta\right)\Big|_0^{2\pi}\\ &=-\frac{9}{2}\pi\end{align*}

下一个例子,我们看一下如何利用高斯公式求一个开曲面的曲面积分。我们先添加一个辅助曲面将开曲面变成闭曲面,然后利用高斯公式计算闭曲面上的积分,最后再减去辅助曲面上的积分,就得到我们所求的曲面积分。

例4:求曲面积分 \(\displaystyle\iint_S\left(-\frac{1}{3}x^3+e^{z^2}\right)dydz+\left(-\frac{1}{3}y^3+x\tan z\right)dzdx+4zdxdy\),其中 \(S\) 为 \(z=x^2+y^2\) 在平面 \(z=4\) 以下的部分,上侧。

解:这是一个开曲面,我们给它加上一个盖子\(S_1: z=4, x^2+y^2\le 4\) ,法向量朝下,组成一个闭曲面,

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这个闭曲面的法向量是朝内的,所以

\begin{align*}\iint_S+\iint_{S_1}&=-\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dxdydz\\ &=\iiint_V(-x^2-y^2+4)dV\end{align*}

这个积分区域的投影是圆 \(x^2+y^2\le 4\),下曲面是\(z=x^2+y^2=r^2\),上曲面是 \(z=4\),所以利用柱坐标计算,\[V=\{(r,\theta,z)|0\le \theta\le 2\pi, 0\le r\le 2, r^2\le z\le 4\}\]

我们有

\begin{align*}\iiint_V(-x^2-y^2+4)dV&=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_{r^2}^4(4-r^2)rdzdrd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_{r^2}^4r(4-r^2)z\Big|{r^2}^4drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int{r^2}^4r(16-8r^2+r^4)drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^2(8r^2-2r^4+\frac{1}{6}r^6)\Big|_0^2d\theta=\frac{32}{5}\theta\Big|_0^{2\pi}\\ &=\frac{64}{5}\pi\end{align*}

现在计算辅助曲面 \(S_1\) 的上积分,因为 \(S_1: z=4, x^2+y^2\le 4\),所以 \(dz=0\)。又因为它的法向量朝下,所以积分号为负,

\begin{align*}\iint_{S_1}&\left(-\frac{1}{3}x^3+e^{z^2}\right)dydz+\left(-\frac{1}{3}y^3+x\tan z\right)dzdx+4zdxdy\\ &=-\iint_{x^2+y^2\le 4}16dxdy=-16\cdot 4\pi\end{align*}

这里,\(1\) 的积分就是平面区域的面积,而圆 \(x^2+y^2\le 4\) 的面积为 \(4\pi\)。

所以

\begin{align*}\iint_S\left(-\frac{1}{3}x^3+e^{z^2}\right)dydz&+\left(-\frac{1}{3}y^3+x\tan z\right)dzdx+4zdxdy\\ &=-\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dxdydz\\ &\quad-\iint_{S_1}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\\ &=-\frac{64}{5}\pi+64\pi=\frac{256}{5}\pi\end{align*}

6,习题与答案

最后给出一些习题,供同学们练习。

1,计算曲面积分 \(\displaystyle\iint_Sy^3dydz+z^2dzdx+xdxdy\),其中 \(S\) 是曲面 \(z=4-x^2-y^2\) 位于平面 \(z=2x+1\) 上方的部分,方向朝下。

2,设 \(S\) 是曲面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}, x^2+y^2\le 4\) 的下侧,\(f(x,y)\) 是连续函数,计算 \(\displaystyle\iint_S(xf(x,y)+2xy-y)dydz+(yf(x,y)+2y+x)dzdx+(zf(x,y)+z)dxdy\)

3,设空间立体 \(V\) 由平面 \(2x+y+2z=2\) 与三个坐标面围成,\(S\) 是它的外表面,计算曲面积分 \[\oint_S(x^2+1)dydz-2ydzdx+3zdxdy\]

4,求曲面积分 \(\displaystyle\iint_S (y\cos(y^2)+z-1)dydz+\frac{z}{x+1}dzdx+xye^{z^2}dxdy\),其中 \(S\) 是其中一个顶点在原点,整个位于第一卦限的无底单位正方体,法向量朝向外。

5,求曲面积分 \(\displaystyle\iint_Sz^3\sin e^ydydz+z^3e^{x^2\sin z}dzdx+(y^2+z)dxdy\),其中 \(S\) 是下半球面 \(x^2+y^2+z^2=4\),方向朝上。

答案:1 \(\quad 0\)

2 \(\quad 0\)

3 \(\quad\frac{1}{2}\)


4
\(\quad\frac{e}{4}\)

5 \(\quad \frac{4}{3}\pi^3\)

如何计算对坐标的曲线积分?

这一篇文章里我们总结一下求对坐标的曲线积分的方法,以及每种方法的应用情况,这样,我们遇到对坐标的曲线积分时,能够采用针对性的方法来求。

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对坐标的曲线积分的计算方式有很多种,我们所知道或者教材上提到过的就有:直接计算,利用格林公式计算,利用 Stokes 公式,利用积分与路径无关以及全微分求积等等。而且有些方法在不同情况下还有不同的变化。这么多方法,再加上对坐标的曲线积分还需要分方向等等,造成了很多同学感觉对坐标的曲线积分很难的印象。

这一篇文章里我们总结一下求对坐标的曲线积分的方法,以及每种方法的应用情况,这样,我们遇到对坐标的曲线积分时,能够采用针对性的方法来求。

事实上,我们只需要掌握两种方法即可:直接计算法和利用格林公式求积分两种方法。因为能够采用全微分求积或者积分路径无关的方法来求曲线积分的,采用格林公式来求更简单直接。所以我们只总结这两种方法。

对于三维闭曲线上的积分,可以应用 Stokes 公式来求,但它的思想与平面上的格林公式一致,我们只简单介绍一下它的方法。

1,直接计算法:我们根据曲线 \(L\) 的表达式的不同形式,将曲线积分化成定积分来计算。

  • 若曲线 \(L\) 是由参数方程 \( x=\phi(t),y=\psi(t)\} \)给出,\(t\) 从 \(\alpha\) 到 \(\beta\),其中 \(t=\alpha\) 对应起点, \(t=\beta\) 对应终点,那么积分 \begin{align*}\int_LP(x,y)dx&+Q(x,y)dy\\&=\int_{\alpha}^{\beta}P(\phi(t),\psi(t))\cdot\phi'(t)dt+Q(\phi(t),\psi(t))\cdot\psi'(t)dt\end{align*}其中 \(x,y\) 都用 \(t\) 表示。这里要注意的是,这里不管 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 谁大谁小,起点就是在下限,终点在上限,这一点跟对弧长的曲线积分不同。
  • 若曲线 \(L\) 是由参数方程 \(x=\phi(t),y=\psi(t),z=\gamma(t)\}\) 给出,\(t\) 从 \(\alpha\) 到 \(\beta\),其中 \(t=\alpha\) 对应起点, \(t=\beta\) 对应终点,那么积分 \begin{align*}\int_LP(x,y,z)dx&+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz\\&=\int_{\alpha}^{\beta}P(\phi(t),\psi(t),\gamma(t))\cdot\phi'(t)dt\\ &\quad+Q(\phi(t),\psi(t),\gamma(t))\cdot\psi'(t)dt\\ &\quad+R(\phi(t),\psi(t),\gamma(t))\cdot\gamma'(t)dt\end{align*}其中 \(x,y,z\) 都用 \(t\) 表示。剩下的部分就是计算定积分了。
  • 若曲线是由一个函数 \(y=f(x)\), \(x\) 从 \(a\) 到 \(b\),那么积分 \[\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{a}^{b}P(x,f(x))+Q(x,f(x))\cdot f'(x)dx\]

2,若 \(L\) 是平面曲线,则可以用格林公式来计算。

  • 若 \(L\) 是平面闭曲线,且在曲线内部 \(P(x,y), Q(x,y)\) 有一阶连续偏导数,这种情况可以直接应用格林公式;
  • 若 \(L\) 是平面闭曲线,但是在曲线内部 \(P(x,y), Q(x,y)\) 有奇点(一阶偏导数不存在或者不连续),这种情况我们通过添加辅助线,将奇点挖掉,然后应用格林公式。最后将辅助线上的积分减去,就得到了原来的曲线积分的值,\begin{align*}\oint_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy&=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dydx\\ &\quad-\oint_{L_1}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\end{align*} 这里 \(L\) 取正向, \(L_1\) 都取反向(顺时针方向)。
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  • 若 \(L\) 是平面开曲线,我们可以通过添加简单的辅助线(为了方便计算),使新的曲线成为一个简单闭曲线,然后应用格林公式,最后减去辅助线上的积分,就得到原曲线积分的值。\begin{align*}\oint_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy&=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\\ &\quad-\int_{L_1}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\end{align*}
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3,若 \(L\) 是一个空间闭曲线,则可应用Stokes 公式,将曲线积分化成曲面积分。在曲面的选择上,可以选择比较简单的、容易计算的曲面来进行计算。(因为以 \(L\) 为边界的曲面很多,我们可以选择最简单的曲面。)

理论上来说,空间开曲线也可以通过添加辅助线的方式来应用 Stokes 公式,但一般来说,这样的计算相对繁琐,我们一般不考虑。

4,计算方法选择:现在的问题是在什么情况采取什么方法来求积分?

基本的思想是:(1)闭曲线,基本上采用格林公式或者 Stokes 公式来求,不管内部是不是有奇点;

(2)开曲线:如果曲线简单(例如直线)并且被积函数简单,直接计算;

(3)开曲线:如果曲线复杂,或者被积函数复杂,采用格林公式计算。

现在我们来看如何应用上述的结论。

例1,求积分 \(\int_L(x+y)dx+(y-x)dy\),其中 \(L\) 是抛物线 \(y^2=x\) 从点 \((1,1)\) 到 \((4,2)\) 之间的一段弧。

解:这里,被积函数很简单,曲线也简单,可以用直接方法计算。用 \(y\) 作自变量会更简单一点,不用计算根式函数的导数。

\begin{align*}\int_L(x+y)dx+(y-x)dy&=\int_1^2[(y^2+y)\cdot 2y+(y-y^2)]dy\\ &=\int_1^2(2y^3+y^2+y)dy\\ &=\frac{1}{2}y^4+\frac{1}{3}y^3+\frac{1}{2}y^2\Big|_1^2\\ &=8+\frac{8}{3}+2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\\ &=\frac{34}{3}\end{align*}

例2:计算 \(\displaystyle\oint_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}\),其中 \(L\) 是 (1)圆周 \((x-2)^2+y^2=1\);(2)原点在其内部的任一正向闭曲线。

解:(1)曲线为圆心在点 \((2,0)\),半径为 \(1\) 的圆周,在其内部 \(D\) 上 \(P(x,y), Q(x,y)\) 一阶连续可导。所以由格林公式

\begin{align*}\oint_{L}\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}&=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dydx\\ &=\iint_D\left(\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}-\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}\frac{\partial P}{\partial y}\right)dydx\\ &=\iint_D 0dydx=0\end{align*}

(2)因为被积函数在原点处没有定义,所以原点是被积函数的奇点。我们以原点为心,作一个半径为 \(\epsilon \) 的圆 \(L_{\epsilon}\),那么被积函数在介于 \(L\) 与 \(L_{\epsilon}\) 之间的区域内是一阶连续可导的。

这里 \(L\) 是正向,逆时针,\(L_{\epsilon}\) 是反向,顺时针。介于这两条曲线之间的区域我们记为 \(D\),它的边界为 \(L+L_{\epsilon}\),由格林公式,

\[\oint_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}+\oint_{L_{\epsilon}}\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\]

因为 \[\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2}, \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2}\]所以 \[\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0\quad\Rightarrow\quad\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=0\]

所以我们得到 \[\oint_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}=-\oint_{L_{\epsilon}}\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}\]

因为 \(L_{\epsilon}\) 可用参数方程表示为 \(x=\epsilon\cos t, y=\epsilon \sin t\),顺时针方向,所以 \(t\) 是从 \(2\pi\) 到 \(0\),

\begin{align*}-\oint_{L_{\epsilon}}\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}&= -\int_{2\pi}^0\left(\frac{-\epsilon\sin t \epsilon (-\sin t)+\epsilon\cos t\epsilon\cos t}{\epsilon^2}\right)dt\\ &=\int_0^{2\pi}\frac{\epsilon^2\sin^2t+\epsilon^2\cos^2t}{\epsilon^2}dt=\int_0^{2\pi}dt=2\pi\end{align*}

所以 \[\oint_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}=2\pi\]

例3:计算 \(\int_L(2xy^3-y^2\cos x)dx+(1-2y\sin x+3x^2y^2)dy\),其中 \(L\) 是抛物线 \(2x=\pi y^2\) 上从点 \((0,0)\) 到 \((\frac{\pi}{2}, 1)\) 之间的一段。

解:积分的曲线如图:

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如果直接计算,这个积分基本上是求不出来的,但是利用格林公式,计算就变得很简单。但是这个曲线不是闭曲线,我们需要添加辅助线来将它变成闭曲线。

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我们看到整个闭曲线的方向是顺时针方向,它是逆向的,所以

\begin{align*}\left(\int_L+\int_{L_1}+\int_{L_2}\right)P(x,y)dx&+Q(x,y)dy=-\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\end{align*}

我们先来计算右边的积分。因为

\begin{align*}&\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(1-2y\sin x+3x^2y^2)=-2y\cos x+6xy^2,\\ &\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy^3-y^2\cos x)=6xy^2-2y\cos x\end{align*}

所以 \[\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0,\qquad \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=0\]

那么 \[\int_LPdx+Qdy=-\int_{L_1}Pdx+Qdy-\int_{L_2}Pdx+Qdy\]

在 \(L_1\) 上,\(x=\frac{\pi}{2}, dx=0\), \(y\) 从 \(1\) 到 \(0\)。所以

\begin{align*}-\int_{L_1}Pdx+Qdy&=-\int_1^0Q(x,y)dy\\ &=-\int_1^0\left(1-2y+3\left(\frac{\pi}{2}\right)^2y^2\right)dy\\ &=\int_0^1\left(1-2y+3\left(\frac{\pi}{2}\right)^2y^2\right)dy\\ &=y-y^2+\frac{\pi^2}{4}y^3\Big|_0^1=\frac{\pi^2}{4}\end{align*}

在 \(L_2\) 上, \(y=0,dy=0\),\(x\) 从 \(\frac{\pi}{2}\) 到 \(0\)。所以

\[-\int_{L_2}Pdx+Qdy=-\int_{L_2}Pdx=-\int_{L_2}0dx=0\]

所以

\[\int_L(2xy^3-y^2\cos x)dx+(1-2y\sin x+3x^2y^2)dy=\frac{\pi^2}{4}\]

最后是一些习题供同学们练习。

1,设 (C) 是从 ((1,0)) 到 ((0,1)) 再到((-1,0)) 的折线,求下列曲线积分
(1)\(\displaystyle\int_C2xydx+x^2dy\);(2)\(\displaystyle\int_Cye^{xy}dx+xe^{xy}dy\);(3)\(\displaystyle\int_Cx^{2/3}dx+e^{7y}dy\)。

2,求曲线积分 \(\displaystyle\int_C(x^2+y)dx+xdy\),其中 \(C\) 是曲线 \(y=9-x^2\) 从 \((-3,0)\) 到 \((3,0)\) 的一段。

3,求积分 \(\displaystyle\int_Cxydx+(e^y+x^2)dy\),其中 (C) 是由 \(y=x^2+4x+4\) 与 (y=4-x^2) 围成的区域的正向边界。

4,计算积分 \(\int_C\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy\),其中 \(C\) 为(1)任意一条原点在其内部的正向闭曲线;(2)任意原点在其外部的正向闭曲线;(3)曲线 \(y=\frac{1}{4}x^2+1\) 从点 \((-2,2)\) 到 \((2,2)\) 之间的一段;(4)曲线 \(y=x^2-2\) 从点 \((-2,2)\) 到 \(2,2\) 之间的一段。

5,求积分 \(\displaystyle\oint_C\frac{4x-y}{4x^2+y^2}dx+\frac{x+y}{4x^2+y^2}dy\),其中 \(C\) 为 \(x^2+y^2=2\), 逆时针方向。

答案:1(1)\(\quad 0\quad \)(2)\(\quad 0\quad\)(3)\(\quad\frac{6}{5}\)

2\(\quad 18\quad\) 3 \(\quad-\frac{8}{3}\quad \)

4 (1)\(\quad2\pi\quad \)(2)\(\quad0\quad\)(3)\(\quad-\frac{\pi}{2}\quad\)(4)\(\quad \frac{3\pi}{2}\)

5 \(\quad\pi\quad\)

你所不知道的积分法(三):反向乘积求导公式与反向商的求导公式

有些函数之和的积分,分开来看,是没办法算或者很复杂,但合起来,仔细观察,有些会是两个函数的乘积或者两个函数之商的导数,这时候,运用反向乘积或者反向商的求导公式,就能比较容易地求出积分。

1,反向乘积的导数:我们知道,两个函数的乘积的导数为

\[(f(x)\cdot g(x))’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\]

所以

\[\int f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)dx=f(x)\cdot g(x)+C\]

例1,求积分 \(\displaystyle\int\left(\frac{1}{\ln x}+\ln(\ln x)\right)dx\)

解:分开来算,这两个积分都算不出来。但仔细观察,\((\ln(\ln x))’=\frac{1}{x\ln x}\),与第一项差了一个因子 \(\frac{1}{x}\),所以将 \(\ln(\ln x)\) 乘以 \(x\),再求导,正好了被积分函数,所以

\[\int\left(\frac{1}{\ln x}+\ln(\ln x)\right)dx=\int[x\ln(\ln x)]’dx=x\ln(\ln x)+C\]

2,反向商的求导公式:商的求导公式为

\[\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\]

所以

\[\int\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}=\frac{f(x)}{g(x)}+C\]

如果一个被积分函数的分母为一个函数的平方,我们可以通过商的求导公式凑出 \(f(x)\),然后利用反向商的求导公式求出积分。

例2,求积分 \(\displaystyle\int\frac{\sin^2 x}{(x\cos x-\sin x)^2}dx\)。

解:因为分母是一个函数的平方,看起来还有点复杂,我们来“凑”出一个商的求导公式。因为分母为 \((x\cos x-\sin x)^2\),所以令 \(g(x)=x\cos x-\sin x\), \( g'(x)=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x\),

\begin{align*}f'(x)g(x)-f(x)g'(x)&=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\\ &=f'(x)\cdot(x\cos x-\sin x)-f(x)\cdot(-x\sin x)\\ &=f'(x)\cdot x\cdot\cos x-f'(x)\sin x+f(x)\cdot x\cdot\sin x\\ &=\sin^2x \end{align*}

因为右边只有 \(\sin^2x\),一个直观的猜想是 \(-f'(x)\sin x=\sin^2x\),也就是\(f(x)=\cos x\),而另外两项为 \(0\)。将 \(f(x)=\cos x\) 代入上式,

\[f'(x)\cdot x\cdot\cos x+f(x)\cdot x\cdot\sin x=-\sin x\cdot x\cdot\cos x+\cos x\cdot x\cdot\sin x=0\]

所以,原积分为

\[\int\frac{\sin^2 x}{(x\cos x-\sin x)^2}dx=\int\left(\frac{\cos x}{x\cos x-\sin x}\right)’dx=\frac{\cos x}{x\cos x-\sin x}+C\]

最后,给出几个习题供有兴趣的同学们练习。

求积分

\begin{align*}(1)&\int(x\sec^2x+\tan x)dx\\ (2)&\int x^x(\ln x+1)dx\\ (3)&\int e^{\sin x}(x^2\cos x+2x)dx\\ (4)&\int\frac{\ln x}{x^2(1-\ln x)^2}dx\\ (5)&\int\frac{\sin x-x\cos x-\cos }{\sin^2x}\end{align*}

你所不知道或不熟悉的积分法(二):对称代换

有些有理函数的积分,使用对称代换比直接使用部分分式法求要简单方便得多。

我们在之前的文章:有理函数的积分,并不只有部分分式法,举了一个例子

\[\int\frac{x^2-1}{x^4+1}dx\]

这个例子里,我们做代换 \[u=x+\frac{1}{x}\]来求积分,比直接使用部分分式法求要简单方便得多。这种类型的代换,称之为“对称代换”。这种代换在求一些特殊的有理函数或者类似的函数的积分的时候,会比较方便。

所谓的对称代换,是指做代换

\[u=x^{a}\pm\frac{1}{x^a}\] 同时,函数又些类似于 \[x^{a-1}\mp\frac{1}{x^{a+1}}\] 的项。这时候,进行对称代换会比较容易。我们来看一些例子。

例1:求积分 \[\int\frac{x^5-x}{x^8+1}dx\]

解:我们对分子分母同时除以 \(x^4\),积分变形为

\begin{align*}\int\frac{x^5-x}{x^8+1}dx&=\int\frac{x-\frac{1}{x^3}}{x^4+\frac{1}{x^4}}dx\\&=\int\frac{x-\frac{1}{x^3}}{x^4+\frac{1}{x^4}+2-2}dx\\&=\int\frac{x-\frac{1}{x^3}}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2}dx\end{align*}

现在做代换 \(u=x^2+\frac{1}{x^2}\),则 \(du=2\left(x-\frac{1}{x^3}\right)dx\),所以原积分变为

\begin{align*}\int\frac{x^5-x}{x^8+1}dx&=\int\frac{x-\frac{1}{x^3}}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2}dx=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2-2}\\ &=\int\frac{du}{(u-\sqrt2)(u+\sqrt2)}dx\end{align*}

利用有理函数的部分分式法,我们可以得到部分分式 \(\frac{1}{(u-\sqrt2)(u+\sqrt2)}=\frac{1}{2\sqrt2}\left(\frac{1}{u-\sqrt2}-\frac{1}{u+\sqrt2}\right)\)

\[\frac{1}{2}\int\frac{du}{(u-\sqrt2)(u+\sqrt2)}dx=\frac{1}{4\sqrt2}\int\left(\frac{1}{u-\sqrt2}-\frac{1}{u+\sqrt2}\right)dx=\frac{1}{4\sqrt2}\ln\left|\frac{u-\sqrt2}{u+\sqrt2}\right|+C\]

代回原来的变量,就得到了\[\int\frac{x^5-x}{x^8+1}dx=\frac{1}{4\sqrt2}\ln\left|\frac{x^2+\frac{1}{x^2}-\sqrt2}{x^2+\frac{1}{x^2}+\sqrt2}\right|+C\]

我们再来看一个不是有理函数的积分。

例2:求积分 \[\int\frac{x^2-1}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}dx\]

解:我们在根式里面提出因子 \(x^2\) 到根式外面来,然后将分子分母同除以 \(x^2\),积分变形为

\begin{align*}\int\frac{x^2-1}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}dx&=\int\frac{x^2-1}{x(x^2+1)\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}dx\\&=\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(x+\frac{1}{x}\right)\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}dx\\ &=\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(x+\frac{1}{x}\right)\sqrt{(x+\frac{1}{x})^2-2}}dx\end{align*}

做代换 \(u=x+\frac{1}{x}\),则上式变为

\[\int\frac{x^2-1}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}dx=\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(x+\frac{1}{x}\right)\sqrt{(x+\frac{1}{x})^2-2}}dx=\int\frac{du}{u\sqrt{u^2-2}}\]

做三角代换 \(u=\sqrt{2}\sec t\),则 \[\int\frac{du}{u\sqrt{u^2-2}}=\int\frac{\sqrt{2}\sec t\tan t}{\sqrt{2}\sec t\tan t}dt=\int\frac{1}{\sqrt{2}}dt=\frac{t}{\sqrt{2}}+C\]

代回原来变量,因为 \(u=\sqrt{2}\sec t\), 我们有 \(\cos t=\frac{\sqrt{2}}{u}\),从而 \(t=\arccos \frac{\sqrt{2}}{u}\),所以

\begin{align*}\int\frac{x^2-1}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}dx&=\frac{t}{\sqrt{2}}+C\\&=\frac{1}{\sqrt2}\arccos \frac{\sqrt{2}}{u}+C\\&=\frac{1}{\sqrt2}\arccos \frac{\sqrt{2}}{x+\frac{1}{x}}+C\\&=\frac{1}{\sqrt2}\arccos \frac{\sqrt{2}x}{x^2+1}+C\end{align*}

以下几个习题留给读者练习。

1,求积分 \[\int\frac{x^2-1}{x^4+x^2+1}dx\]

2,求积分 \[\int\frac{x^4+1}{x^2\sqrt{x^4-1}}dx\]

3,求积分 \[\int\frac{x^2+1}{x^4+3x^3+3x^2-x+1}dx\]

4,求积分 \[\int\frac{x^2}{x^4+1}dx\]

最后一个可能会有点麻烦,如果你有什么想法,可以在留言区留言。

你所不知道或不熟悉的积分法(一):欧拉代换

我们讲述教材上一般不讲的积分方法,这是第一篇,欧拉代换。

我们一般的高等数学或者微积分课程里,甚至数学系的数学分析课程里,限于课时,有很多积分方法是没有讲过的,有些讲过也只是匆匆带过。事实上,积分的方法多种多样,虽然基本的方法也就是分部积分与换元积分法,但是由这两种方法,加上积分与导数的关系,能够演化出多种多样的积分方法来。

这些方法,有些方法在教材里没有出现,只在一些习题集里或者一些专门的著作里出现过;有些是教材里简单提过,没有深入讲解的方法;有些是现在通用教材里不讲,但是在一些年代久远的教材里出现过的。

现在我将我所知道的这些方法列举出来,一来可以可以拓宽我们的视野和知识面,二来可以加深我们对已有知识的理解。

我们来看一下有哪些方法我们不知道或者不了解的。限于篇幅,我们将这些内容作成一个系列,分别讲述。本文我们讲述欧拉代换。

欧拉代换:如果被积函数的形式为 \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\),就是 \(x\) 与 \(\sqrt{ax^2+bx+c}\) 的有理函数,我们可以用欧拉代换:

  • \(a>0\), 作代换 \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t – \sqrt{ax}\),两边平方后,可以得到 \(bx+c=t^2-2\sqrt{a}tx\),于是 \[x=\frac{t^2-c}{b\+2\sqrt{a}t},\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{\sqrt{a}t^2+bt+c\sqrt{a}}{2\sqrt{a}t+b}, dx=\frac{2\sqrt{a}t^2+2bt+2\sqrt{a}c}{(b+2\sqrt{a}t)^2}dt;\]
  • \(c>0\),作代换 \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}\),两边平方再除以 \(x\),就得到 \(ax+b=xt^2+2\sqrt{c}t\),从而可得 \[x=\frac{2\sqrt{c}t-b}{a-t^2},\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{\sqrt{c}t^2-bt+\sqrt{c}a}{a-t^2}, dx=\frac{2\sqrt{c}t^2-2bt+2\sqrt{c}a}{(a-t^2)^2}dt\]
  • 若 \(\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a(x-p)(x-q)}\),则作代换 \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-p)\),两边平方,约去 \(x-p\),我们得到 \(a(x-q)=t^2(x-p)\),从而 可得 \[x=\frac{pt^2-aq}{t^2-a},\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{a(p-q)t}{t^2-a},dx=\frac{2a(q-p)t}{(t^2-a)^2}dt\]

上面的这三种变换,其实也可以用代换 \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t + \sqrt{ax}, \sqrt{ax^2+bx+c}=xt-\sqrt{c}\) 和 \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-q)\),方法 是一样的,只是最后得到的结果在符号上有差别而已。

这种形式的积分,教材上一般都采用三角代换的方式来求。需要我们先对根式里的项配方,再利用标准的三角代换来求。

当然,这种积分也可以用双曲代换的方式来求。任何用三角代换可以解决的积分,都可以用双曲代换求得,具体采取哪种方法,根据自己的熟练程度选用。这三种方法,都是应用变量代换将根式的有理函数化与一般的有理函数,而有理函数总是可以求积分的。

我们来看两个欧拉代换的例子。

例1:求不定积分 \[\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}}\]

解:这可以用第一种方法,也可以用第二种方法。我们先用第一种方法来计算。

I. 我们作代换 \(\sqrt{x^2+x+1}=t-x\),那么 \[x=\frac{t^2-1}{1+2t},\sqrt{x^2+x+1}=\frac{t^2+t+1}{2t+1}, dx=\frac{2t^2+2t+2}{(2t+1)^2}dt;\]代入到积分里面,我们得到 \[\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}}=\int\frac{2t^2+2t+2}{t(2t+1)^2}dt\]

利用有理函数的部分分式法,我们有

\begin{align*}\int\frac{2t^2+2t+2}{t(2t+1)^2}dt&=\int\left(\frac{2}{t}-\frac{3}{2t+1}-\frac{3}{(2t+1)^2}\right)dt\\ &=2\ln|t|-\frac{3}{2}\ln|2t+1|+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2t+1}+C\end{align*}

代回原来变量,\(t=x+\sqrt{x^2+x+1}\),我们得到原积分为

\begin{align*}&\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}} \\ &\quad =2\ln|x+\sqrt{x^2+x+1}|-\frac{3}{2}\ln|2x+2\sqrt{x^2+x+1}+1|\\ &\qquad+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2x+2\sqrt{x^2+x+1}+1}+C\end{align*}

II,现 在我们用第二种方法来计算这个积分。我们令 \(\sqrt{x^2+x+1}=xt+1\),从而 \[x=\frac{2t-1}{1-t^2},\sqrt{x^2+x+1}=\frac{t^2-t+1}{1-t^2}, dx=\frac{2t^2-2t+2}{(1-t^2)^2}dt\]

代入到积分里面去,我们有\[\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}}=\int\frac{2t^2-2t+2}{t(1-t)(1-t^2)}dt\]

利用有理函数的部分分式法,我们得到

\begin{align*}\int\frac{2t^2-2t+2}{t(1-t)(1-t^2)}dt&=\int\left(\frac{2}{t}+\frac{2}{1+t}-\frac{3}{(1+t)^2}+\frac{2}{1-t}\right)dt\\&=2\ln|t|+2\n|1+t|-2\ln|1-t|+\frac{3}{1+t}+C\\&=2\ln|t|+2\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+\frac{3}{1+t}+C\end{align*}

代回原来变量, \(t=\frac{\sqrt{x^2+x+1}-1}{x}\),我们有 \begin{align*}\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}}&=2\ln|t|+2\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+\frac{3}{1+t}+C\\&=2\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+x+1}-1}{x}\right|+2\ln\left|\frac{x+\sqrt{x^2+x+1}-1}{x-\sqrt{x^2+x+1}+1}\right|\\&\quad +\frac{3x}{x+\sqrt{x^2+x+1}-1}+C\end{align*}

我们看到了用两种不同的积分方式,得到了不一样的结果,这是很正常的事。

我们看一下用第三种方法 计算 的积分。

例2:求积分 \[\int\frac{xdx}{\sqrt{(7x-10-x^2)^3}}\]

解:我们知道, \(7x-10-x^2=(x-2)(5-x)\),所以应用第三种变换, \(\sqrt{2+x-x^2}=t(x-2)\),从而\[x=\frac{2t^2+5}{t^2+1},\sqrt{7x-10-x^2}=\frac{3t}{t^2+1},dx=\frac{-6t}{(t^2+1)^2}dt\]代入到积分里面去,我们得到

\begin{align*}\int\frac{xdx}{\sqrt{(7x-10-x^2)^3}}&= -\frac{6}{27}\int\frac{2t^2+5}{t^2}dt\\ &=-\frac{2}{9}\int(2+\frac{5}{t^2})dt=-\frac{4}{9}t+\frac{10}{9t}+C\\&=-\frac{4}{9}\cdot \frac{\sqrt{7x-10-x^2}}{x-2}+\frac{10(x-2)}{9\sqrt{7x-10-x^2}}+C\end{align*}

最后一个等式我们用等式 \(t=\frac{\sqrt{7x-10-x^2}}{x-2}\) 将 \(t\) 代回了原来的变量 \(x\)。

挑战微积分答案

问题1:求不定积分\[\int\frac{1-\ln x}{x^2+\ln^2x}dx.\]

答案:我们对被积函数变形得

\[\int\frac{1-\ln x}{x^2+\ln^2x}dx=\int\frac{\frac{1}{x^2}-\frac{\ln x}{x^2}}{1+\left(\frac{\ln x}{x}\right)^2}=\int\frac{d\left(\frac{\ln x}{x}\right)}{1+\left(\frac{\ln x}{x}\right)^2}=\arctan\left(\frac{\ln x}{x}\right)^2+C\]

问题2:求不定积分 \[\int\frac{4x^5-1}{(x^5+x+1)^2}dx.\]

答案:我们看到被积函数的分母是一个多项式的平方, 那么在求导公式 里,分母里是平方的,就是商的求导公式\(\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)。如果我们设 \(g(x)=x^5+x+1\),那么 \(f'(x)g(x)-f(x)g'(x)=4x^5-1\),也就是说 \[f'(x)(x^5+x+1)-f(x)(5x^4+1)=4x^5-1\] 因为分子分母都是多项式,那么 \(f(x)\) 也是多项式。多项式的导数比多项式本身低一阶。所以我们有:

\[f'(x)x^5-5f(x)x^5=4x^5, \quad f'(x)x-f(x)=0, \quad f'(x)=-1\]

所以我们可以得到 \(f(x)=-x\),也就是说 \(\left(\frac{-x}{x^5+x+1}\right)’=\frac{4x^5-1}{(x^5+x+1)^2}\)。所以

\[\int\frac{4x^5-1}{(x^5+x+1)^2}dx= -\frac{x}{x^5+x+1}+C .\]

问题3:求由曲线 \(y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x^{2/3}\) 及 \(x=y^3\) 所围成的平面图形的面积。

答案:求面积的话,我们先要求出交点,以便确定积分的上下限。将第二个曲线的方程代入第一个曲线的方程,我们有\[y^3-y^2-2=0\]解此方程,我们得到 \(y_1=0,y_2=-1,y_3=2\),所以交点为 \((0,0),(-1,-1),(8,2)\)。

现在的问题是,我们要求面积的话,需要知道哪个曲线在上方,哪个曲线在下方。对于第一个曲线,我们一般是不知道它长什么的样的。这时候我们该如何确定上、下曲线呢?

我们可以用一些数值来确定它们的位置。在区间 \((-1,0)\),我们选择 \(x=-\frac{1}{27}\),那么第一个曲线为 \[y=\frac{1}{2}\cdot(-\frac{1}{27})-\frac{1}{2}\cdot(-\frac{1}{27})^{2/3}=-\frac{2}{27}\]

代入第二个曲线 ,我们有 \(y=-\frac{1}{3}\),因为 \(-\frac{2}{27}>-\frac{1}{3}\)。所以在 区间 \((-1,0)\) 上,第一个曲线在上方。同理,我们可以选择 \(x=1\),可以知道在区间 \((0,8)\),第二个曲线在上方。所以面积为

\begin{align*}A&=\int_{-1}^0\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x^{2/3}-x^{1/3}\right)dx+\int_0^8\left(x^{1/3}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x^{2/3}\right)dx\\ &=(\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{10}x^{5/3}-\frac{3}{4}x^{4/3})\Big|_{-1}^0+(\frac{3}{4}x^{4/3}-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{10}x^{5/3})\Big|_0^8\\&=\frac{69}{5}\end{align*}

问题4:设数列 \(\{x_n\}\) 由下式定义\begin{align*}x_n&=\frac{n+1}{9n^2+(n+1)^2}+\frac{n+2}{9n^2+(n+2)^2}+\cdots+\frac{9n}{9n^2+(9n)^2}\\&=\sum_{k=n+1}^{9n}\frac{k}{9n^2+k^2}\end{align*}求此数列的极限。

答案:因为 \[x_n=\sum_{k=n+1}^{9n}\frac{k}{9n^2+k^2}=\sum_{k=n+1}^{9n}\frac{\frac{k}{n}}{9+\left(\frac{k}{n}\right)^2}\cdot \frac{1}{n}\]

取极限后,我们发现这是定积分的定义,所以

\[\lim_{n\to\infty}x_n=\int_1^9\frac{x}{9+x^2}dx=\frac{1}{2}\ln(9+x^2)\Big|_1^9=\frac{1}{2}\ln 9=\ln 3\]

问题5:设 \(x_1=1\),数列 \(\{x_n\}\)由递推式

\[x_{n+1}=\frac{5+3x_n}{3+x_n}\]所定义,证明数列 \(\{x_n\}\)收敛,并求其极限。

答案:递推式的极限,我们一般是用单调有界准则来证明其极限存在性。首先我们可以看到,如果极限存在,它的极限为 \(\sqrt{5}\)。因为两边取极限后,我们有 \[A=\frac{5+3A}{3+A}\]解这个方程,我们得到 \(A=\pm \sqrt5\)。但是显然 \(x_n>0\),所以 \(A=\sqrt{5}\)。

现在我们证明这个极限是有界的。我们用数学归纳法证明 \(0<x_n<\sqrt{5}\)。\(x_1=1>0\),所以很显然 \(x_n>0\)。我们现在证明 \(x_n<\sqrt{5}\)。首先 \(x_1=1<\sqrt{5}\),我们假设 \(x_n<\sqrt{5}\),我们希望能导出 \(x_{n+1}<\sqrt5\)。 因为 \(x_n<\sqrt5\),我们对此不等式两边同乘以 \(3-\sqrt5\)(为什么乘以这个数?), 我们得到 \[(3-\sqrt5)x_{n}<(3-\sqrt5)\sqrt5\]

展开,再移项,我们有\[5+3x_n<\sqrt5(3+x_n)\] 两边除以 \(3+x_n\),我们就得到了 \[x_{n+1}=\frac{5+3x_n}{3+x_n}<\sqrt5\]

现在我们证明它是单调的。\[x_{n+1}-x_n=\frac{5+3x_n}{3+x_n}-x_n=\frac{5-x_n^2}{3+x_n}\] 因为 \(x_n<\sqrt5\),所以我们知道上式大于 \(0\),所以数列是单调的。

由单调有界准则,我们知道这个数列是有极限的。由第一段的叙述,它的极限为 \(\sqrt5\)。

注记:证明这个数列单调有界,也可以完全用归纳法来证明。我们这里的证明方式,是给出了数学上的一种常见的方法 ,就是有些数字,实际上是通过“凑”的方式得到的,例如我们刚才在不等式两边乘以 \(3-\sqrt5\),实际上是对 \(x_{n+1}=\frac{5+3x_n}{3+x_n}<\sqrt5\)这个不等式反向运算得到的。

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